ΘΕΜΑ Α3ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα . Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο ;
Από το 2001 ως το 2026, 76 ερωτήσεις των Πανελληνίων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού αφορούσαν αυτό το κεφάλαιο. Οι 51 ήταν μεγάλο πρόβλημα, Θέμα Γ ή Δ. Όλες εδώ, χρονιά χρονιά, με σύνδεσμο στο επίσημο PDF.
Τα θέματα είναι του Υπουργείου Παιδείας. Δεν τα αναδημοσιεύουμε: κάθε ερώτηση ανοίγει στη σωστή σελίδα του επίσημου PDF. Εμείς φτιάχνουμε μόνο τον χάρτη ανά κεφάλαιο.
Επίσημο αρχείο θεμάτωνΜετράμε κανονικές και επαναληπτικές εξετάσεις, ημερήσια λύκεια.
Τρεις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, μία ερώτηση Θέματος Β και ένα μεγάλο πρόβλημα, όλα από παλιές Πανελλήνιες σε αυτό το κεφάλαιο. Κάθε φορά άλλο. Τύπωσέ το και λύσε το με το PDF.
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα . Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο ;
Έστω συνάρτηση g: παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύουν: 0 g(x) 1 , για κάθε x , g (x) 1 , για κάθε x . Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 1x 1,0 ώστε: 1 1 g(x ) x 0 . Δίνεται επιπλέον η …
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα . Αν F είναι μια παράγουσα της f στο , τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c , c , είναι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f …
Θεωρούμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, και μια παράγουσα, F, της f στο 0, για τις οποίες ισχύει ότι: x f(x) 2F(x)lnx , για κάθε x 0 . Δίνεται ακόμα ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο …
Δίνεται η συνάρτηση f : με 2 f(x) x 1 αx , όπου α. Για τη συνάρτηση f ισχύει ότι: f(x) 1 2 e x x 1 , για κάθε x . Δ1. Να αποδείξετε ότι: i) f (0) -1 (μονάδες 4) και ii) α = -1 (μονάδες 2). Δ2. Να αποδείξετε ότι η …
Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.
Έστω η συνάρτηση f : 0, με τύπο lnx αx f(x) x , όπου α. Δίνεται ότι το σύνολο τιμών της f είναι το 1 f 0, , 1 e . Δ1. Να αποδείξετε ότι α = 1. Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει μοναδική ρίζα, 0 x , η οποία …
Δίνονται οι συναρτήσεις π f, g: (0 , ] 2 για τις οποίες ισχύει: 2 g(x) g(y) (x y) , για κάθε π x, y (0 , ] 2 g(x) f(x) ημx , για κάθε π x (0 , ] 2 π f( ) 2 4 . Δ1. Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση g είναι σταθερή για …
Δίνεται η συνάρτηση: 2 x -3x+3 , x 1 f(x) 1 , x 1 x , όπου , για την οποία γνωρίζουμε επιπλέον ότι 3 2 x f(x) dx 1 . Γ1. Να αποδείξετε ότι =0. Γ2. i) Να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της …
Δίνεται συνάρτηση f : 0,2 με τύπο: 1 f(x) ln(2 x) x , όπου για την οποία ισχύει: x 1 f(x) 2x lim . x 1 . Δ1. Να αποδείξετε ότι 3 . Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες 1 x , 2 x με 1 2 x 1 x …
Δίνεται η συνάρτηση f : 0, με τύπο 1 x x x f . Β1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Β2. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα …
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: 2 1 x f ημx , για κάθε x 0 x . Δ1. Να αποδείξετε ότι: 2 1 x ημ , x 0 f(x) x 0 , x 0 Δ2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης …
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: - όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c , όπου c , είναι παράγουσες της f στο Δ και - κάθε άλλη …
Δίνεται η συνάρτηση f : 0, με τύπο: f(x) x ln(3x) Δ1. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες 1 2 x ,x , με 1 2 x 1 x . (μονάδες 6) ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. (μονάδες 2) Στα …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν 0 x x …
Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) x nx n( x) , x (0, ), (0, ) και x g(x) x , x (0, ). Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 1, το οποίο και να βρείτε. Στην συνέχεια, να βρείτε την ευθεία στην οποία …
Έστω f : , 2 2 μια συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε για κάθε x , 2 2 να ισχύει: x f(x) συνx 1 . Δ1. Να αποδείξετε ότι συνx 1, x , 0 0, f(x) x 2 2 0, x 0 Δ2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f(x)dx 2 2 π π I Δ3. Να αποδείξετε …
Έστω η συνάρτηση f του διπλανού σχήματος. Αν για τα εμβαδά των χωρίων Ω1, Ω2 και Ω3 ισχύει ότι Ε(Ω1)=2, Ε(Ω2)=1 και Ε(Ω3)=3, τότε το f(x)dx είναι ίσο με: α) 6 β) -4 γ) 4 δ) 0 ε) 2
Δίνονται η συνάρτηση f : με τύπο 2 f(x) (x 1) n(x 2x 2) x όπου , και η ευθεία ( ) : y x 2, η οποία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο της A(1, 1) . Δ1. Να αποδείξετε ότι 1 και 2 . Δ2. Να βρείτε το εμβαδόν …
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ;
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, ) , για την οποία ισχύει ότι 1 f(x) f (x) 2 για κάθε x 0 και της οποίας η γραφική παράσταση f C διέρχεται από το σημείο M(1, 1). Έστω το σημείο 3 A( , 0) 2 . Γ1. Να αποδείξετε ότι …
Δίνεται η συνάρτηση f : , με τύπο 3 2 x f(x) 3x 3x 1 . Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο . Δ2. Να αποδείξετε ότι f(x) f(1 x) 1 για κάθε x (μονάδες 2) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του …
Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.
Δίνεται η συνάρτηση f : [0, π] →\ , με τύπο: f(x) 2 ημx x = − . Γ1. Να βρείτε τα ακρότατα της f (τοπικά και ολικά). Γ2. Να αποδείξετε ότι για κάθε o x [0, π] ∈ η γραφική παράσταση της f και η εφαπτομένη της στο o o A(x …
Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) + ∞→\ , με τύπο: ln(x 1) f(x) x + = . Δ1. Να αποδείξετε ότι x ln(1 x) x 1 + > + , για κάθε x 0 > . Δ2. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και ότι το πεδίο ορισμού της 1 f − είναι το …
Δίνεται η συνάρτηση f(x) x x [0, ] , , και το σημείο A , 2 2 . Γ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες 1 2 ( ), ( ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Γ2. Αν 1 ( …
Δίνεται η συνάρτηση 3 4 x x , x [ 1,0) f(x) e x, x [0, ] Δ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ 1, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και …
Δίνεται η συνάρτηση f : με 3 f(x) x . Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1 (μονάδες 2) και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση 1 f (μονάδες 4). Γ2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει: 3 1 f(ημx) f(x x ) 6 . …
Δίνεται η συνάρτηση lnx 1 ,0 x 1 x f(x) 1 ,x 1 lnx ,x 1 x 1 Δ1. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο (0, ) (μονάδες 3) και να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f . (μονάδες 2) …
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c, c είναι παράγουσες της f στο Δ, και κάθε άλλη παράγουσα G της …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν z , τότε …
Δίνεται η συνάρτηση x 1 f(x) e lnx, x (0, ) Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με 2 h(x) 1 g(x) t 1 dt, όπου 2 h(x) …
Δίνεται η συνάρτηση x 2 e f(x) , x x 1 . Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, ). Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 3 x 2 e f e (x 1) 5 ( ) έχει στο …
Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, ) για την οποία ισχύει: 2 (x x) f (x) x f(x) 1, για κάθε x (0, ) Δ1. Nα αποδείξετε ότι lnx , 0 x 1 f(x) x 1 1 , x 1 Δ2. Να αποδείξετε ότι x 1 1 1 x f(t) f(t)dt dt , t για κάθε x …
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: f(x) f(x) f (x) e e 2 για κάθε x και f(0) 0. Δ1. Να αποδείξετε ότι 2 f(x) n x x 1 ( ), x . Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή …
Δίνεται η συνάρτηση x x x h( ) x , ( 1) ∈ = − + A R n e Γ1. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα. Γ2. Να λύσετε την ανίσωση 2 (x) h( h ) 1 ′ < + e e e , x ∈\ Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής …
Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ ] α, β . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [ ] α, β , τότε να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) β α f t dt G β G α = − ∫
Έστω ( ) f : 0, + ∞→ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: • Η f′ είναι γνησίως αύξουσα στο ( ) 0, + ∞ • ( ) f 1 1 = • ( ) ( ) h 0 f 1 5h f 1 h lim 0 h → + − − = Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση ( ) ( ) x α f t …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική …
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x−1) n l x−1, x>0 Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ1=(0,1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ2=[1,+∞). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f Γ2. …
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:AØ με Α=(0,+ ∞), για την οποία ισχύουν: • f(A)=( ] 0 , ∞ − • η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ∞), και • 2f(x)+ ,2 dt t 1 t f e e x 1 x x 1 )t( f ) x ( f )t(΄ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛+ = ⎟⎠ ⎞ …
Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)→, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις σχέσεις: • f(x) ∫ 0 • e x x f(t)dt 2 1 x x 1 2 − ≥ ∫ + − • x−x = − n l f(x) e dt f(t) t nt x 1 ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ l Δ1. Να αποδείξετε ότι η f …
Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Να διατυπώσετε τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας της f στο Δ.
Ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y= x , x . 0 ≥ Ένας παρατηρητής βρίσκεται στη θέση Π(0,1) ενός συστήματος συντεταγμένων Οxy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δίνεται …
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : →, οι οποίες για κάθε x∈ ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f(x)>0 και g(x)>0 ii) ∫ − + = − x 0 t 2 x 2 dt )t x ( g e e ) x ( f 1 iii) ∫ − + = − x t x dt )t x ( f e e ) x ( g 0 2 2 1 Δ1. …
Δίνεται η συνάρτηση f: →, η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε: i) ) 0 ( f 1 x ) x ( f lim 0 x + = → ii) f΄(0) < f(1)-f(0) και iii) 0 ) x ( f ≠ ′′ για κάθε x∈ Δ1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της …
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: • όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x)=F(x)+c, c∈ είναι παράγουσες της f στο Δ και • κάθε άλλη παράγουσα G …
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x+ln(x2+1), x∈ Γ1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. Γ2. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = + − 1 x 1 ) 2 x 3 ( ln 2 x 3 x 2 4 2 2 Γ3. Να αποδείξετε ότι η f έχει …
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: → η οποία για κάθε x∈ ικανοποιεί τις σχέσεις: f(x)≠x f(x)–x =3+∫ − x 0 dt t )t( f t Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο f΄(x)= x ) x ( f ) x ( f − , x∈ Δ2. Να …
Έστω συνάρτηση f: → η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο με f(0) = 1 και f΄(0) = 0 Δ1. Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ 1 για κάθε x∈ Δ2. Να αποδείξετε ότι ∞ + = + ⋅∫ → x ημ x dt ) xt ( f x lim x 3 1 0 3 0 Αν επιπλέον …
Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει 0 ) x ( f = ′ , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Πότε μία συνάρτηση …
Δίνεται μια συνάρτηση f:[ ] 2 , 0 → η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες x 2 e x k ) x ( f 4 ) x ( f 4 ) x ( f = + ′ − ′′ , 0 2 x ≤ ≤ ) 0 ( f 2 ) 0 ( f = ′ , f ′(2) = 2 f(2)+12 e4, f(1) = e2 …
Έστω f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [0, 2] για την οποία ισχύει ( ) 0 dt )t( f 2 t 2 0 = − ∫ Ορίζουμε τις συναρτήσεις ∫ ∈ = x 0 ], 2 ,0 [ x , dt )t( ft ) x ( H ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − ∈ + − = → ∫ 0 x , t t lim ] , ( x …
A. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι ∫ β α α β = ) ( G – ) ( G dt )t( f Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού …
Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [0, +∞) για την οποία ισχύει f(x) > 0 για κάθε x ≥ 0. Ορίζουμε τις συναρτήσεις: F(x) = , x∈ [0, +∞), ∫ x 0 dt f(t) ∫ = x dt )t( ft ) x ( F ) x ( h 0 , x∈ (0, +∞). α. Να …
Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει ∫ − + = 2 0 3 45 f(t)dt 3x) 10x ( f(x) α. Να αποδείξετε ότι f(x)=20x3+6x−45 β. Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο . Να αποδείξετε ότι h h) (x …
Δίνεται η συνάρτηση ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ βσυν + α + < ημ = .0 x ,x x x 0 x , x x 3 ) x ( f 2 α. Να αποδειχθεί ότι 3 ) x ( f lim 0 x = − → . β. Αν π = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛π 2 f΄ και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0=0, να …
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex − e lnx, x > 0. α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (1, +∞). β. Να αποδειχθεί ότι ισχύει f(x) ≥ e για κάθε x > 0. γ. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση dt )t( …
Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x3 – 3x – 2ημ2θ όπου θ∈IR μια σταθερά με θ ≠ κπ + 2 π , κ∈Z . α. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β. Να αποδειχθεί ότι η …
Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [0, 1] για την οποία ισχύει f(0) > 0. Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [0, 1] για την οποία ισχύει g(x) > 0 για κάθε x∈ [0, 1]. Ορίζουμε τις …
2 Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο …
Δίνεται η συνάρτηση 1 x x e 1 e 1 f(x) + + + = , x∈IR . α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο IR . β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα dx f(x) 1 ∫ . γ. Για κάθε x<0 να αποδείξετε ότι: …
Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =2+(x-2)2 με x≥2. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f-1 της f και να βρείτε τον τύπο της. γ. i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών …
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, που ικανοποιούν την ισότητα (4–z)10 = z10 και η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x2+x+α, α∈IR . α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία x=2. β. Αν η εφαπτομένη (ε) της …
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = eλx, λ > 0. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β. Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = …
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο IR τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση 2 f΄(x) = ex – f(x) για κάθε x ∈ IR και f(0) = 0. α. Να δειχθεί ότι: 2 e 1 ln f(x) x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛+ = . β. Nα βρεθεί το: ημx dt t) - f(x lim x 0 0 …
A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ' ένα διάστηµα Δ και x0 ένα εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι f΄(x0)=0 Β. Πότε µια συνάρτηση f …
Θεωρούµε τη συνάρτηση f: IR → IR µε f(x) = 2x + mx – 4x – 5x, όπου m ∈ IR , m > 0. α. Να βρείτε τον m ώστε f(x) ≥ 0 για κάθε x ∈ IR . β. Αν m = 10, να υπολογισθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική …
Δίνεται η συνάρτηση g(x)=exf(x), όπου f συνάρτηση παραγωγίσιµη στο IR και f(0)=f( 2 3 )=0 . α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο ξ∈(0, 2 3 ) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=−f(ξ). β. Εάν f(x)=2x2−3x, να υπολογίσετε το …
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0, +∞) → IR τέτοια, ώστε ∫ + = 2 1 0 2 dt 2xf(2xt) 2 x f(x) . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, +∞). β. Να αποδείξετε ότι f(x) = ex – (x + 1). γ. Να αποδείξετε ότι η f(x) …
Έστω η συνεχής συνάρτηση f: IR → IR τέτοια ώστε f(1)=1. Αν για κάθε x∈ IR , ισχύει g(x)= ) 1 x ( z 1 z 3 dt )t(f z 3 x 1 − + − ∫ ≥ 0, όπου z=α+βi∈C, µε α, β∈ IR *, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι …
A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν F είναι µία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της µορφής G(x) = c ) x ( F + , c ∈ ΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη …
Έστω η συνάρτηση f(x) = x5+x3+x . α. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β. Να αποδείξετε ότι f(ex)≥f(1+x) για κάθε x∈IR. γ. Να αποδείξετε ότι η …
α. Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι αν h(x) > g(x) για κάθε x ∈ [α, β], τότε και . β α β α dx ) x ( g dx ) x ( h ∫ ∫ > β. Δίνεται η παραγωγίσιµη στο ΙR συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις …
Έστω f µια πραγµατική συνάρτηση µε τύπο: 3 x , 3 x e - 1 3 x , αx f(x) 3 - x 2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > − ≤ = α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = –1/9. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης Cf της …
Έστω µια πραγµατική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών ΙR, για την οποία ισχύoυν οι σχέσεις: i) f(x) ≠ 0, για κάθε x∈ ΙR ii) f(x) = , για κάθε x∈ ΙR. dt (xt) ft x 2 - 1 1 0 2 2∫ Έστω ακόµη g η …
Εδώ δεν υπάρχουν ακόμη. Το επίσημο αρχείο του Υπουργείου δίνει τα θέματα, όχι λύσεις, και λύσεις που δεν ελέγξαμε δεν τις βάζουμε. Κάθε ερώτηση ανοίγει στο επίσημο PDF.
Κάθε ερώτηση τη διαβάσαμε και την αντιστοιχίσαμε με το χέρι. Ερώτηση που αγγίζει δύο κεφάλαια εμφανίζεται και στα δύο. Αν δεις λάθος, πες μας.
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου, ημερήσια λύκεια, κανονικές και επαναληπτικές εξετάσεις, 2001 έως 2026, από 47 επίσημα χαρτιά του Υπουργείου.