ΘΕΜΑ Α4ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν z , τότε …
Από το 2001 ως το 2026, 47 ερωτήσεις των Πανελληνίων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού αφορούσαν αυτό το κεφάλαιο. Οι 5 ήταν μεγάλο πρόβλημα, Θέμα Γ ή Δ. Όλες εδώ, χρονιά χρονιά, με σύνδεσμο στο επίσημο PDF.
Τα θέματα είναι του Υπουργείου Παιδείας. Δεν τα αναδημοσιεύουμε: κάθε ερώτηση ανοίγει στη σωστή σελίδα του επίσημου PDF. Εμείς φτιάχνουμε μόνο τον χάρτη ανά κεφάλαιο.
Επίσημο αρχείο θεμάτωνΜετράμε κανονικές και επαναληπτικές εξετάσεις, ημερήσια λύκεια.
Τρεις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, μία ερώτηση Θέματος Β και ένα μεγάλο πρόβλημα, όλα από παλιές Πανελλήνιες σε αυτό το κεφάλαιο. Κάθε φορά άλλο. Τύπωσέ το και λύσε το με το PDF.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν z , τότε …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο …
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z , w για τους οποίους ισχύουν: 2 2 z 3i 18 z 3 m w i (w) 1 B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η ευθεία με εξίσωση x y 3 0 B2. Να …
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: |z 4 | 2 | z 1|. B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε z …
Δίνεται η εξίσωση 2 2 z (z z)i 4 2i 0, z + + − − = ∈^ B1. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. B2. Αν 1 z =1+i και 2 z =1-i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός 39 1 2 z w 3 z ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση 0 …
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: ( )( ) z 2 z 2 z 2 2 − − + − = B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z, είναι κύκλος με κέντρο ( ) K 2,0 και ακτίνα ρ 1 = …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό …
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z≠–1, για τους οποίους ο αριθμός w= 1 z 1 z + − είναι φανταστικός. Να αποδείξετε ότι: B1. 1 z = B2. Ο αριθμός 4 z 1 z ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛− είναι πραγματικός. B3. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 z 1 z 1 …
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: 4 = + z + 1 z 2 2 1 _ (1) 12 = w 5 _ w (2) B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με i z 3 ≠ , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 2 i3 z i3 z = + + − − και i3 z 1 i3 z w − + − = B1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z B2. Να αποδείξετε …
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: i z −=1+Im(z) (1) w( w +3i)=i(3 w+i) (2) B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η παραβολή …
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η …
Δίνεται η εξίσωση 2 z 2 z = + όπου z∈C με z≠0 B1. Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης. B2. Να αποδείξετε ότι 0 z z 2010 2 2010 1 = + B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει 2 1 z z i3 4 w − = + − τότε να …
Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2 είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν z1 +z2 = –2 και z1 ⋅ z2 = 5 B1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z1, z2 B2. Αν για τους …
A. Έστω η συνάρτηση f(x) = x . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) και ισχύει: x 2 1 ) x ( f = ′ B. Έστω μια συνάρτηση f και xo ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής …
Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει 0 ) x ( f = ′ , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Πότε μία συνάρτηση …
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: ( ) ( ) 0 8 z i 2 z i 2 = − + + − − α. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z = x+yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. β. …
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=(2λ+1)+(2λ−1)i , λ∈ Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ∈ β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς …
2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, …
Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός 2 3 i 1 z1 + = είναι ρίζα της εξίσωσης z2+βz+γ=0, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί. α. Να αποδείξετε ότι β=–1 και γ=1. β. Να αποδείξετε ότι . 1 – z3 1 = γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο …
Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν 3i) (3 w i) (1 w και 6 z ) 2 2 i( − − = − − = + τότε να βρείτε: α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z . β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών …
1 Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: 2 1 2 1 z z z z ⋅ = ⋅ .
Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 2i α αi 2 z + + = με α∈IR . α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =1. β. Έστω z1, z2 οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο 2i α αi 2 …
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = α+βi και 1 1 2 z 2 z 2 z − − + − = , όπου α, β∈IR με β ≠ 0. Δίνεται επίσης ότι z2 − z1 ∈IR . α. Να αποδειχθεί ότι z2 − z1 = 1. β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z1 στο …
2 Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο …
2 ΄Εστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο …
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, που ικανοποιούν την ισότητα (4–z)10 = z10 και η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x2+x+α, α∈IR . α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία x=2. β. Αν η εφαπτομένη (ε) της …
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 με z , z , z 3 2 1 3 2 1 z z z = = = και . z z 0 z 3 2 1 = + + α. Να αποδείξετε ότι: i. 3 2 1 3 2 1 z z z z z z − = − = − . ii. 4 z z 2 2 1 ≤ − και Re . 1 ) z z ( 2 1 − ≥ − β. Να βρείτε …
α. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει z1+z2=4+4i και , i 5 5 z z 2 2 1 + = −− να βρείτε τους z1, z2. β. Aν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w ισχύουν ⏐z – 1 – 3i⏐ 2 ≤ και ⏐w – 3 – i⏐ 2 ≤ : i. να …
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2, z3 με ⏐z1⏐=⏐z2⏐=⏐z3⏐= 3. α. Δείξτε ότι: z 9 z 1 1 = . β. Δείξτε ότι ο αριθμός z z z z 1 2 2 1 + είναι πραγματικός . γ. Δείξτε ότι: ⏐z1 + z2 + z3⏐= 3 1 ⏐z1 · z2 + z2 · z3 + z3 · z1⏐.
A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν • η f είναι συνεχής στο Δ και • f΄(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα Δ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις …
A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ' ένα διάστηµα Δ και x0 ένα εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι f΄(x0)=0 Β. Πότε µια συνάρτηση f …
Δίνεται µια συνάρτηση f: [α, β] → IR συνεχής στο διάστηµα [α, β] µε f(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ [α, β] και µιγαδικός αριθµός z µε Re(z) ≠ 0, Ιm(z) ≠ 0 και Re(z) >Im(z). Αν z 1 z + = f(α) και z 1 z 2 2 + = f2(β), να αποδείξετε …
Έστω η συνεχής συνάρτηση f: IR → IR τέτοια ώστε f(1)=1. Αν για κάθε x∈ IR , ισχύει g(x)= ) 1 x ( z 1 z 3 dt )t(f z 3 x 1 − + − ∫ ≥ 0, όπου z=α+βi∈C, µε α, β∈ IR *, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι …
A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν F είναι µία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της µορφής G(x) = c ) x ( F + , c ∈ ΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη …
A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του Διαφορικού Λογισµού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις …
α. Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: 2 z = και Ιm (z) ≥ 0 . β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε …
Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z=α+βi, όπου α,β∈IR και w=3z – _z i +4, όπου _z είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α–β+4 Ιm(w)=3β–α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται …
Έστω z ένας µιγαδικός αριθµός και f(ν) = iν z, ν ∈ IN*. α. Να δείξετε ότι f(3) + f(8) + f(13) + f(18) = 0 . β. Αν ⏐z⏐= ρ και Arg(z) = θ, να δείξετε ότι f(13) = ρ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + θ 2 π ηµ i θ 2 π συν …
1. Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z1, z2. Να αποδείξετε ότι: ⎜z1 ⋅ z2⎜ = ⎜z1⎜ ⋅ ⎜z2⎜. ,5
2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει: α. z z z 2 = β. z z 2 2 = γ. z …
z i 2 ε. –2 στ. 5 ζ. 10 ,5 Β.2. Αν για το µιγαδικό αριθµό 1, z ισχύει z = να δείξετε ότι z 1 z = .
Εδώ δεν υπάρχουν ακόμη. Το επίσημο αρχείο του Υπουργείου δίνει τα θέματα, όχι λύσεις, και λύσεις που δεν ελέγξαμε δεν τις βάζουμε. Κάθε ερώτηση ανοίγει στο επίσημο PDF.
Κάθε ερώτηση τη διαβάσαμε και την αντιστοιχίσαμε με το χέρι. Ερώτηση που αγγίζει δύο κεφάλαια εμφανίζεται και στα δύο. Αν δεις λάθος, πες μας.
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου, ημερήσια λύκεια, κανονικές και επαναληπτικές εξετάσεις, 2001 έως 2026, από 47 επίσημα χαρτιά του Υπουργείου.