Όριο - συνέχεια συνάρτησης: θέματα Πανελληνίων

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Μια …

Δίνονται οι συναρτήσεις f : 1, , με τύπο f x 2 ln x 1 και g: 2 , , με τύπο g x x 2 1 . Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h f g . Στα επόμενα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι h x ln x 2 , x 2, . Β2. Να αποδείξετε ότι η …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Έστω f : …

Δίνεται η συνάρτηση f : με 3 2 f(x) x x 9x 3 , όπου . Δίνεται ακόμα ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 x 1 . Β1. Να βρείτε την τιμή του . Στα ερωτήματα Β2 έως Β4 να θεωρήσετε ότι 6 . Β2. Να …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Έστω μια …

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) lnx , x 0 και x g(x) e 1 , x . Β1. Να αποδείξετε ότι η σύνθεση της συνάρτησης g με τη συνάρτηση f είναι η συνάρτηση x e f x x g ln 1 , . Β2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι αντιστρέψιμη …

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα α, β . Αν η f είναι συνεχής στο α, β και α β f f να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό ζ μεταξύ των α f και β f υπάρχει ένας, τουλάχιστον, 0 α, β x …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f , g …

Δίνονται οι συναρτήσεις g: 1, με τύπο 1 g(x) x x και h: 1, με τύπο 1 h(x) x x . Β1. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g f h και r g h . Για τα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι x 1 f(x) , x 1 x 1 και 1 r(x) x , x 1 x . …

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ισχύει ότι …

Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , ) με τύπο f(x) 2lnx 1 και η συνάρτηση g: με τύπο g(x) x 2 . Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h f g . Αν h(x) 2ln( x 2) 1, x 2 , τότε: Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση h ως προς την κυρτότητα. …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ισχύει ότι …

Δίνεται η συνάρτηση g: με τύπο 2x x 4 e g(x) e και η συνάρτηση h : (0, ) με τύπο h(x) lnx . Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g h . Έστω 2 4 x f(x) x , x 0 . Β2. i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία …

Πότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f : …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν …

Δίνεται η συνάρτηση f : ( ,1] με τύπο 4 2 f(x) x 2x 1 και η συνάρτηση g : [0, ) με τύπο g(x) x . Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h f g . Β2. Αν 2 h(x) (x 1) , x [0,1] , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι "1 1" …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν 0 x x …

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) f : 1, + ∞→ με τύπο x f(x) x 1 = − και ( ) g : 0, + ∞→ με τύπο g(x) lnx. = Β1. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Β2. …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) …

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ , ] α β ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f,g …

Δίνεται η συνάρτηση f : (1, ) +∞→\ με τύπο 1 f(x) 1 x = − και η συνάρτηση [ ) g : 0,+∞→\ με τύπο g(x) x = . Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση 2 1 x 1 f (x) , …

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β), να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον o x (α, …

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f με 0 x x limf(x) 0, ισχύει ότι 0 x x 1 lim f(x) ή 0 x x 1 lim f(x) ». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) 2v 1 x 0 1 …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν 0 x x …

Δίνεται η συνάρτηση 3x 1 f(x) x 3 , x {3}. Β1. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται στο {3} . B2. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και 1 f είναι ίσες. B3. Να αποδείξετε ότι (f f)(x) x για κάθε x {3}. B4. Να υπολογίσετε …

Δίνονται οι συναρτήσεις: f : (1, ) , με τύπο x 2 f(x) x 1 και g: , με τύπο x g(x) e . B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. B2. Αν x x e 2 (f g)(x) e 1 , με x 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι ‘1-1’ και να …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Κάθε …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …

Δίνονται οι συναρτήσεις 2 f(x) x και g(x) x , όπου , , για τις οποίες ισχύει 2 (f g)(x) x 2x , για κάθε x . Β1. Να αποδείξετε ότι α β 1 . ΝΕΟ Β2. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f, g είναι 1-1 και να βρείτε την …

Δίνονται οι συναρτήσεις 2 f(x) (x α) 1, x [ 1, ), α και 2 g(x) x 1, x . Αν η κλίση της γραφικής παράστασης f C της f στο σημείο με τετμημένη o x 0 είναι ίση με 2, τότε: Β1. Να αποδείξετε ότι α 1 . Β2. Να αποδείξετε ότι …

Έστω A . α) Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A ; ( ) β) i. Πότε μια συνάρτηση f : A έχει αντίστροφη; (Μονάδα 1) ii. Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του (i), πώς ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f ; ( …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα στο γράμμα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. …

Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο x f(x) e , όπου , η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την ευθεία y 2 . B1. Να αποδείξετε ότι 2 . B2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) x 0 έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική …

Δίνονται οι συναρτήσεις f : με τύπο 2 f(x) x 1 και g : [2, ) με τύπο g(x) x 2 . Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f έχει πεδίο ορισμού το A = (- ,-1] [1,+ ) και τύπο 2 (g f)(x) x 1 . Β2. Να βρείτε την ασύμπτωτη της …

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f : που είναι “1-1” είναι και γνησίως μονότονη.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η …

Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του \ . Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α;

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων f, g : (0, ) +∞→\ , αν ισχύει x 0 lim f(x) → = +∞ και x 0 lim g(x) → = −∞, τότε x 0 lim[f(x) g(x)] 0 → + = ». α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική …

Δίνεται η συνάρτηση 2 x 1, x 1 f(x) x x α, x 1 + ⎧ > ⎪ = ⎨ ⎪ + ≤ ⎩ . Β1. Να υπολογίσετε το α ∈\ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής. Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρήστε ότι α 1 = . Β2. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f …

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β];

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) nx, x 0 και x g(x) , x 1 1 x . B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. B2. Αν x h(x) (f g)(x) n , x (0,1) 1 x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) x 0 συν x …

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f . B1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f . B2. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. α) x 1 lim f(x) β) x 3 lim f(x) γ) x 5 lim f(x) δ) x 7 lim f(x) ε) …

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β), τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον 0 x …

Πότε μια συνάρτηση f:A λέγεται συνάρτηση 1-1;

Έστω μια συνάρτηση f και 0 x ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0 x ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν z , τότε …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο …

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A . Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 x Α ∈ (ολικό) μέγιστο, το ( ) 0 f x ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε z …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση 0 …

Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β];

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x0∈A (ολικό) μέγιστο, το f(x0);

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f(x) = …

A. Έστω η συνάρτηση f(x) = x . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) και ισχύει: x 2 1 ) x ( f = ′ B. Έστω μια συνάρτηση f και xo ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής …

Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει 0 ) x ( f = ′ , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Πότε μία συνάρτηση …

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: ( ) ( ) 0 8 z i 2 z i 2 = − + + − − α. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z = x+yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. β. …

2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, …

2 Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η …

3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞; A B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη …

Δίνεται η συνάρτηση ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ βσυν + α + < ημ = .0 x ,x x x 0 x , x x 3 ) x ( f 2 α. Να αποδειχθεί ότι 3 ) x ( f lim 0 x = − → . β. Αν π = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛π 2 f΄ και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0=0, να …

2 ΄Εστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο …

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =2+(x-2)2 με x≥2. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f-1 της f και να βρείτε τον τύπο της. γ. i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών …

1 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν • η f είναι συνεχής στο [α, β] και • f(α) ≠ f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x0 ∈ (α, …

2 Πότε μια συνάρτηση f:A → IR λέγεται “1-1”; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Τα εσωτερικά σημεία …

2 Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο +∞; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που …

A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν • η f είναι συνεχής στο Δ και • f΄(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα Δ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις …

A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του Διαφορικού Λογισµού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις …

Έστω f µια πραγµατική συνάρτηση µε τύπο: 3 x , 3 x e - 1 3 x , αx f(x) 3 - x 2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > − ≤ = α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = –1/9. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης Cf της …