Διαφορικός λογισμός: θέματα Πανελληνίων

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα . Αν η f είναι συνεχής στο και f x 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα .

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Μια …

Πότε η ευθεία 0 x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Έστω f : …

Δίνεται η συνάρτηση f : με 3 2 f(x) x x 9x 3 , όπου . Δίνεται ακόμα ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 x 1 . Β1. Να βρείτε την τιμή του . Στα ερωτήματα Β2 έως Β4 να θεωρήσετε ότι 6 . Β2. Να …

Να αποδείξετε ότι, αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 x του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Τι ονομάζουμε κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f , ορισμένης σε ένα διάστημα ;

Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) διαφορικού λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) lnx , x 0 και x g(x) e 1 , x . Β1. Να αποδείξετε ότι η σύνθεση της συνάρτησης g με τη συνάρτηση f είναι η συνάρτηση x e f x x g ln 1 , . Β2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι αντιστρέψιμη …

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ;

Δίνονται οι συναρτήσεις g: 1, με τύπο 1 g(x) x x και h: 1, με τύπο 1 h(x) x x . Β1. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g f h και r g h . Για τα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι x 1 f(x) , x 1 x 1 και 1 r(x) x , x 1 x . …

Έστω η συνάρτηση f(x) x , x . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (x) 1 .

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ισχύει ότι …

Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , ) με τύπο f(x) 2lnx 1 και η συνάρτηση g: με τύπο g(x) x 2 . Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h f g . Αν h(x) 2ln( x 2) 1, x 2 , τότε: Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση h ως προς την κυρτότητα. …

Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο 0 x , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0 x και ισχύει: 0 0 0 (f g)'(x ) f '(x ) g'(x )

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Πότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ , ] του πεδίου ορισμού της;

Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle (μονάδες 3) και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία (μονάδες 2).

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ισχύει ότι …

Δίνεται η συνάρτηση g: με τύπο 2x x 4 e g(x) e και η συνάρτηση h : (0, ) με τύπο h(x) lnx . Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g h . Έστω 2 4 x f(x) x , x 0 . Β2. i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία …

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 x του πεδίου ορισμού της, να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Δίνεται η συνάρτηση f : 0, με τύπο 1 x x x f . Β1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Β2. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα …

Πότε η ευθεία 0 x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν …

Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 x , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Πότε η ευθεία y x = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο + ∞;

Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) του Διαφορικού Λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν 0 x x …

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) f : 1, + ∞→ με τύπο x f(x) x 1 = − και ( ) g : 0, + ∞→ με τύπο g(x) lnx. = Β1. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Β2. …

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) …

Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι -x f(x 1) (x 1) e , για κάθε x . Β1. Να δείξετε ότι 1-x f(x) x e , x . Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β3. Να μελετήσετε τη …

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν • Η f είναι συνεχής στο Δ και • f (x) 0 ′ = για κάθε x εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f,g …

Δίνεται η συνάρτηση f : (1, ) +∞→\ με τύπο 1 f(x) 1 x = − και η συνάρτηση [ ) g : 0,+∞→\ με τύπο g(x) x = . Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση 2 1 x 1 f (x) , …

Aν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο 0 x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0 x και ισχύει 0 0 0 (f g) (x ) f (x ) g (x ).

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Πώς ορίζεται η πρώτη παράγωγος της f ;

Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της;

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f , ορισμένη, παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο , ισχύει f (x) 0». α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) 2v 1 x 0 1 …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν 0 x x …

Δίνονται οι συναρτήσεις: f : (1, ) , με τύπο x 2 f(x) x 1 και g: , με τύπο x g(x) e . B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. B2. Αν x x e 2 (f g)(x) e 1 , με x 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι ‘1-1’ και να …

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο o x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο o x και ισχύει: 0 0 0 (f g) (x ) f (x ) g (x ) ΄ ΄ ΄ .

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο o x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f (x) 0 στο o (α, x ) και f (x) 0 στο o (x , β), τότε να αποδείξετε ότι το o f(x ) είναι …

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο o x A τοπικό μέγιστο;

Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

Πότε λέμε ότι η ευθεία o x x είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Κάθε …

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο , ισχύει f (x) 0 για κάθε x .» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα …

Δίνονται οι συναρτήσεις 2 f(x) (x α) 1, x [ 1, ), α και 2 g(x) x 1, x . Αν η κλίση της γραφικής παράστασης f C της f στο σημείο με τετμημένη o x 0 είναι ίση με 2, τότε: Β1. Να αποδείξετε ότι α 1 . Β2. Να αποδείξετε ότι …

Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat που αφορά τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης.

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα στο γράμμα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. …

Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο x f(x) e , όπου , η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την ευθεία y 2 . B1. Να αποδείξετε ότι 2 . B2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) x 0 έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο …

Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f (x) 0 στο o (α, x ) και f (x) 0 στο o (x , β), να αποδείξετε ότι το o f(x ) είναι …

Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική …

Δίνονται οι συναρτήσεις f : με τύπο 2 f(x) x 1 και g : [2, ) με τύπο g(x) x 2 . Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f έχει πεδίο ορισμού το A = (- ,-1] [1,+ ) και τύπο 2 (g f)(x) x 1 . Β2. Να βρείτε την ασύμπτωτη της …

Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 x , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η …

Δίνεται η συνάρτηση 2 4 f(x) x , x {0} x . B1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. B2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. B3. Να βρείτε τις …

Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f (x) ′ διατηρεί πρόσημο στο o o (α, x ) (x ,β) ∪ , να αποδείξετε ότι το o f(x ) δεν …

Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, F, G, H, T. (f) (g) (F) (G) (H) (T) Να γράψετε στο τετράδιο σας ποια από τις συναρτήσεις F, G, H, T μπορεί να είναι η παράγωγος της συνάρτησης f και ποια της g.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική …

Δίνεται η συνάρτηση 2 x 1, x 1 f(x) x x α, x 1 + ⎧ > ⎪ = ⎨ ⎪ + ≤ ⎩ . Β1. Να υπολογίσετε το α ∈\ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής. Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρήστε ότι α 1 = . Β2. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f …

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής στο 0 x , είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) nx, x 0 και x g(x) , x 1 1 x . B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. B2. Αν x h(x) (f g)(x) n , x (0,1) 1 x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. …

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και o x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο o x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι o f (x ) 0 .

Πότε λέμε ότι η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) x 0 συν x …

Πότε η ευθεία 0 x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A . Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 x Α τοπικό ελάχιστο;

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν • η f είναι συνεχής στο Δ και • f (x) 0 ′ = για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε z …

Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.)

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ ] α, β του πεδίου ορισμού της;

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f΄(x)>0 στο (α, x0) και f΄(x)<0 στο (x0, β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x0) είναι …

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ 0 (x) f > ′

Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0œA τοπικό μέγιστο;

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f ′(x0) = 0

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x∈ ισχύει = –ημx ) ( ′ συνx

Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο . Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ∞ + ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε …

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = ημx, x∈, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ) x ημ ( ′ = συνx

Πότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της;

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η …

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f(x) = …

A. Έστω η συνάρτηση f(x) = x . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) και ισχύει: x 2 1 ) x ( f = ′ B. Έστω μια συνάρτηση f και xo ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής …

Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει 0 ) x ( f = ′ , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Πότε μία συνάρτηση …

A. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι ∫ β α α β = ) ( G – ) ( G dt )t( f Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού …

1 Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = x ln , x∈* είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει: ( ) x 1 x ln = ′

2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, …

1 Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

2 Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η …

3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞; A B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη …

1 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι: • Αν f΄(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. • Αν f΄(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του …

2 Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο …

2 ΄Εστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο …

Δίνεται η συνάρτηση 1 x x e 1 e 1 f(x) + + + = , x∈IR . α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο IR . β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα dx f(x) 1 ∫ . γ. Για κάθε x<0 να αποδείξετε ότι: …

1 Έστω η συνάρτηση f με x ) x (f = . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞) και ισχύει: x 2 1 ) x ( f΄ = .

2 Πότε μια συνάρτηση f:A → IR λέγεται “1-1”; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Τα εσωτερικά σημεία …

2 Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο +∞; B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που …

A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν • η f είναι συνεχής στο Δ και • f΄(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα Δ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις …

A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ' ένα διάστηµα Δ και x0 ένα εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι f΄(x0)=0 Β. Πότε µια συνάρτηση f …

Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x)=x2 lnx . α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f, να µελετήσετε την µονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα. β. Να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σηµεία …

A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν F είναι µία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της µορφής G(x) = c ) x ( F + , c ∈ ΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη …

A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του Διαφορικού Λογισµού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις …

Έστω f µια πραγµατική συνάρτηση µε τύπο: 3 x , 3 x e - 1 3 x , αx f(x) 3 - x 2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > − ≤ = α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = –1/9. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης Cf της …