Το θεώρημα μέσης τιμής

Το θεώρημα Rolle και το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.), οι προϋποθέσεις τους και η γεωμετρική τους ερμηνεία με την εφαπτομένη.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 215 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Το θεώρημα Rolle είναι ειδική περίπτωση του Θ.Μ.Τ., και το Θ.Μ.Τ. αποδεικνύεται με τη βοήθειά του.
Rolle: f συνεχής [α, β] και παραγωγίσιμη (α, β) και f(α) = f(β) ⇒ υπάρχει ξ ∈ (α, β) με f′(ξ) = 0.
Γεωμετρικά, στο Rolle υπάρχει σημείο της Cf με οριζόντια εφαπτομένη, παράλληλη στον x′x.
Θ.Μ.Τ.: f συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) ⇒ υπάρχει ξ ∈ (α, β) με f′(ξ) = (f(β) − f(α))/(β − α).
Γεωμετρικά, στο Θ.Μ.Τ. η εφαπτομένη στο (ξ, f(ξ)) είναι παράλληλη στη χορδή AB.
Το Rolle χρησιμεύει για να δείξουμε ότι μια εξίσωση f′(x) = 0 έχει ρίζα σε ένα διάστημα· το Θ.Μ.Τ. εξηγεί π.χ. ότι ένα κινητό είχε κάποια στιγμή ταχύτητα ίση με τη μέση ταχύτητά του.

Όροι

Θεώρημα Rolle: f(α) = f(β) ⇒ υπάρχει ξ με f′(ξ) = 0
προϋποθέσεις Rolle: όσες του Θ.Μ.Τ. και επιπλέον f(α) = f(β)
ξ στο Rolle και στο Θ.Μ.Τ.: ανήκει στο ανοικτό (α, β)
Rolle γεωμετρικά: οριζόντια εφαπτομένη σε κάποιο σημείο
Θ.Μ.Τ.: f′(ξ) = (f(β) − f(α))/(β − α)
προϋποθέσεις Θ.Μ.Τ.: συνεχής [α, β] και παραγωγίσιμη (α, β)
Θ.Μ.Τ. γεωμετρικά: εφαπτομένη παράλληλη στη χορδή AB
κλίση χορδής AB: (f(β) − f(α))/(β − α)
Rolle ως ειδική περίπτωση: Θ.Μ.Τ. με f(α) = f(β)
Θ.Μ.Τ. σε κίνηση: κάποια στιγμή υ = μέση ταχύτητα

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Ποιες είναι οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle;

Η f να είναι συνεχής στο κλειστό [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό (α, β) και f(α) = f(β). Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) με f′(ξ) = 0.

Τι λέει το Θεώρημα Μέσης Τιμής;

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β), υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) με f′(ξ) = (f(β) − f(α))/(β − α).

Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θ.Μ.Τ.;

Ότι υπάρχει σημείο M(ξ, f(ξ)) όπου η εφαπτομένη της Cf είναι παράλληλη στην ευθεία AB που ενώνει τα άκρα A(α, f(α)) και B(β, f(β)).

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα