Συνέπειες του θεωρήματος της μέσης τιμής

Τι προκύπτει από το Θ.Μ.Τ.: συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε διάστημα είναι σταθερή, συναρτήσεις με ίσες παραγώγους διαφέρουν κατά σταθερά, και το πρόσημο της f′ δίνει τη μονοτονία.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 215 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και f′(x) = 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι σταθερή στο Δ (απόδειξη με Θ.Μ.Τ.).
Πόρισμα: αν f, g συνεχείς στο Δ με f′ = g′ στο εσωτερικό, υπάρχει σταθερά c με f(x) = g(x) + c για κάθε x ∈ Δ.
Τα δύο αυτά ισχύουν σε διάστημα, όχι σε ένωση διαστημάτων.
Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f′ > 0 στο εσωτερικό του, τότε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ· αν f′ < 0, γνησίως φθίνουσα.
Το αντίστροφο δεν ισχύει: μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση μπορεί να έχει f′ = 0 σε κάποιο σημείο (x³ στο 0).
Στην πράξη φτιάχνουμε πίνακα προσήμου της f′ και από αυτόν διαβάζουμε τα διαστήματα μονοτονίας.
Με τη μονοτονία και τη συνέχεια βρίσκουμε σύνολο τιμών και δείχνουμε ότι μια ρίζα είναι μοναδική.

Όροι

f′ = 0 σε διάστημα Δ (f συνεχής): η f είναι σταθερή στο Δ
f′ = g′ σε διάστημα Δ: f(x) = g(x) + c
ένωση διαστημάτων και f′ = 0: η f δεν είναι κατ' ανάγκη σταθερή
f′ > 0 στο εσωτερικό του Δ: f γνησίως αύξουσα στο Δ
f′ < 0 στο εσωτερικό του Δ: f γνησίως φθίνουσα στο Δ
f γνησίως αύξουσα: δεν έπεται f′ > 0 παντού
f(x) = x³: γνησίως αύξουσα, αλλά f′(0) = 0
f′ = f σε R και f(0) = 1: f(x) = eˣ
γνησίως μονότονη f: η ρίζα της f(x) = 0 είναι μοναδική
πίνακας προσήμου f′: δίνει τα διαστήματα μονοτονίας

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Αν f′(x) = 0 σε ένα σύνολο, είναι πάντα η f σταθερή;

Μόνο αν το σύνολο είναι διάστημα και η f συνεχής σε αυτό. Σε ένωση διαστημάτων, όπως (−∞, 0) ∪ (0, +∞), η f μπορεί να είναι σταθερή σε κάθε κομμάτι με διαφορετική τιμή.

Πώς βρίσκω τη μονοτονία μιας συνάρτησης με την παράγωγο;

Βρίσκω το πρόσημο της f′: όπου f′ > 0 στο εσωτερικό ενός διαστήματος, η f (συνεχής) είναι γνησίως αύξουσα· όπου f′ < 0, γνησίως φθίνουσα.

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι f′ > 0 παντού;

Όχι απαραίτητα. Η x³ είναι γνησίως αύξουσα στο R, αλλά η παράγωγός της 3x² μηδενίζεται στο 0.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα