Όρια συνάρτησης στο άπειρο

Τι σημαίνει όριο μιας συνάρτησης όταν x → +∞ ή x → −∞, τα βασικά όρια, το όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης, της εκθετικής και λογαριθμικής και το όριο ακολουθίας.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 115 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Για όριο στο +∞ η f πρέπει να ορίζεται σε διάστημα (α, +∞)· για όριο στο −∞ σε διάστημα (−∞, β).
Το όριο στο +∞ μπορεί να είναι πραγματικός ℓ, +∞ ή −∞, ανάλογα με το πώς συμπεριφέρονται οι τιμές όταν το x μεγαλώνει απεριόριστα.
Βασικά όρια: lim xⁿ = +∞ και lim 1/xⁿ = 0 στο +∞· στο −∞ το xⁿ τείνει στο +∞ για άρτιο ν και στο −∞ για περιττό.
Οι ιδιότητες των ορίων ισχύουν και στο ±∞, αρκεί να μην προκύπτει απροσδιόριστη μορφή.
Πολυώνυμο: lim P(x) = lim αₙxⁿ στο ±∞· ρητή: lim P(x)/Q(x) = lim αₙxⁿ/(βₖxᵏ).
Για α > 1: αˣ → 0 στο −∞ και → +∞ στο +∞, logαx → −∞ στο 0 και → +∞ στο +∞· για 0 < α < 1 ισχύουν τα αντίθετα.
Ακολουθία είναι συνάρτηση α: N* → R· το όριό της ορίζεται όπως το όριο συνάρτησης στο +∞, και ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες.

Όροι

lim xⁿ, x → +∞: +∞
lim 1/xⁿ, x → ±∞: 0, ν ∈ N*
lim xⁿ, x → −∞, ν άρτιος: +∞
lim xⁿ, x → −∞, ν περιττός: −∞
lim P(x), x → ±∞: lim αₙxⁿ (μεγιστοβάθμιος όρος)
lim P(x)/Q(x), x → ±∞: lim αₙxⁿ / (βₖxᵏ)
lim αˣ, α > 1, x → +∞: +∞
lim αˣ, α > 1, x → −∞: 0
lim αˣ, 0 < α < 1, x → +∞: 0
lim logαx, α > 1, x → 0: −∞
lim logαx, α > 1, x → +∞: +∞
lim logαx, 0 < α < 1, x → 0: +∞
ακολουθία: συνάρτηση α: N* → R, όρος αₙ
όριο ακολουθίας (αₙ) → ℓ: |αₙ − ℓ| < ε για κάθε ν > ν₀

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Πώς βρίσκω το όριο ενός πολυωνύμου στο +∞;

Κρατάω μόνο τον μεγιστοβάθμιο όρο: lim P(x) = lim αₙxⁿ όταν x → ±∞.

Πώς βρίσκω το όριο ρητής συνάρτησης στο ±∞;

Είναι ίσο με το όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων αριθμητή και παρονομαστή, αₙxⁿ / βₖxᵏ.

Ποιο είναι το όριο της αˣ στο +∞;

Αν α > 1 είναι +∞ (και 0 στο −∞)· αν 0 < α < 1 είναι 0 (και +∞ στο −∞).

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα