Συνέχεια συνάρτησης

Q: Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x₀;

Όταν το x₀ ανήκει στο πεδίο ορισμού της και lim f(x) = f(x₀) καθώς x → x₀. Δεν είναι συνεχής αν το όριο δεν υπάρχει ή αν διαφέρει από την τιμή f(x₀).

Q: Τι λέει το θεώρημα Bolzano;

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α)·f(β) < 0, υπάρχει τουλάχιστον ένα x₀ ∈ (α, β) με f(x₀) = 0, δηλαδή η εξίσωση f(x) = 0 έχει ρίζα στο (α, β).

Q: Ποιο είναι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς f στο [α, β];

Το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της, από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σε σημείο και σε διάστημα, οι πράξεις και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, και τα βασικά θεωρήματα: Bolzano, ενδιάμεσων τιμών, μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 115 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Η f είναι συνεχής στο x₀ του πεδίου ορισμού της όταν lim f(x) = f(x₀)· αν αυτό ισχύει παντού στο πεδίο ορισμού, λέγεται απλά συνεχής.
Συνεχείς είναι οι πολυωνυμικές, οι ρητές, οι ημx, συνx, εφx, σφx, η αˣ και η logαx.
Άθροισμα, γινόμενο, πηλίκο, κf, |f| και ρίζα συνεχών είναι συνεχείς· αν η f είναι συνεχής στο x₀ και η g στο f(x₀), η gof είναι συνεχής στο x₀.
Συνέχεια σε [α, β]: συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β), με lim f = f(α) από δεξιά του α και lim f = f(β) από αριστερά του β.
Θεώρημα Bolzano: f συνεχής στο [α, β] και f(α)·f(β) < 0 ⇒ υπάρχει x₀ ∈ (α, β) με f(x₀) = 0.
Συνεχής συνάρτηση που δεν μηδενίζεται σε διάστημα διατηρεί πρόσημο· έτσι βρίσκουμε το πρόσημο ανάμεσα σε διαδοχικές ρίζες με μία δοκιμή ανά διάστημα.
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: f συνεχής στο [α, β] και f(α) ≠ f(β) ⇒ παίρνει κάθε τιμή η μεταξύ f(α) και f(β)· η εικόνα διαστήματος μέσω συνεχούς μη σταθερής f είναι διάστημα.
Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής: συνεχής f στο [α, β] παίρνει μέγιστη M και ελάχιστη m· για γνησίως μονότονη συνεχή f στο (α, β) το σύνολο τιμών είναι το διάστημα ανάμεσα στα όρια στα άκρα.

Όροι

f συνεχής στο x₀: lim f(x) = f(x₀), x → x₀
ασυνέχεια στο x₀: όριο δεν υπάρχει ή ≠ f(x₀)
συνεχής συνάρτηση: συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού
σύνθεση gof: συνεχής αν f στο x₀, g στο f(x₀)
συνεχής στο [α, β]: στο (α, β) και πλευρικά στα άκρα
Θεώρημα Bolzano: f(α)·f(β) < 0 ⇒ ρίζα στο (α, β)
προϋπόθεση Bolzano: f συνεχής στο κλειστό [α, β]
συνεχής και f(x) ≠ 0 στο Δ: διατηρεί πρόσημο στο Δ
θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: κάθε η μεταξύ f(α), f(β) πιάνεται
f(Δ), f συνεχής μη σταθερή: είναι διάστημα
θ. μέγιστης-ελάχιστης τιμής: συνεχής στο [α, β] ⇒ έχει m και M
σύνολο τιμών συνεχούς στο [α, β]: [m, M]
f ↑ και συνεχής στο (α, β): σύνολο τιμών (A, B), όρια στα άκρα
f ↓ και συνεχής στο (α, β): σύνολο τιμών (B, A)
εφx, σφx: συνεχείς ως πηλίκα συνεχών

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x₀;

Όταν το x₀ ανήκει στο πεδίο ορισμού της και lim f(x) = f(x₀) καθώς x → x₀. Δεν είναι συνεχής αν το όριο δεν υπάρχει ή αν διαφέρει από την τιμή f(x₀).

Τι λέει το θεώρημα Bolzano;

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α)·f(β) < 0, υπάρχει τουλάχιστον ένα x₀ ∈ (α, β) με f(x₀) = 0, δηλαδή η εξίσωση f(x) = 0 έχει ρίζα στο (α, β).

Ποιο είναι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς f στο [α, β];

Το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της, από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα