Ιδιότητες των ορίων

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Αν lim f(x) > 0 στο x₀, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀ (αντίστοιχα για < 0)· αν f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και υπάρχουν τα όρια, τότε lim f ≤ lim g.
2. Αν υπάρχουν τα όρια, το όριο αθροίσματος, γινομένου, πολλαπλασίου κf και απόλυτης τιμής είναι το αντίστοιχο των ορίων· το πηλίκο όταν lim g ≠ 0, η ρίζα όταν f ≥ 0 κοντά στο x₀.
3. Για πολυώνυμο lim P(x) = P(x₀) και για ρητή lim P(x)/Q(x) = P(x₀)/Q(x₀) όταν Q(x₀) ≠ 0.
4. Όταν Q(x₀) = 0 δεν ισχύει ο κανόνας του πηλίκου· συχνά απλοποιούμε το κλάσμα πρώτα.
5. Κριτήριο παρεμβολής: αν η f είναι «εγκλωβισμένη» ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις με κοινό όριο ℓ, έχει κι αυτή όριο ℓ.
6. Ισχύει |ημx| ≤ |x| για κάθε x, με ισότητα μόνο για x = 0· από αυτό και το κριτήριο βγαίνουν τα τριγωνομετρικά όρια.
7. lim ημx/x = 1 και lim (συνx − 1)/x = 0 όταν x → 0.
8. Όριο σύνθετης: θέτουμε u = g(x), βρίσκουμε u₀ = lim g(x) και μετά ℓ = lim f(u) καθώς u → u₀· αν g(x) ≠ u₀ κοντά στο x₀, το όριο της f(g(x)) είναι ℓ.

Όροι

lim (f + g)

lim f + lim g

lim (κf)

κ·lim f, κ σταθερά

lim (f·g)

lim f · lim g

lim (f/g)

lim f / lim g, αν lim g ≠ 0

lim |f(x)|

|lim f(x)|

lim [f(x)]ⁿ

[lim f(x)]ⁿ, ν ∈ N*

lim P(x), x → x₀

P(x₀)

lim P(x)/Q(x), Q(x₀) ≠ 0

P(x₀)/Q(x₀)

lim f > 0 στο x₀

f(x) > 0 κοντά στο x₀

f ≤ g κοντά στο x₀

lim f ≤ lim g

κριτήριο παρεμβολής

h ≤ f ≤ g, lim h = lim g = ℓ ⇒ lim f = ℓ

|ημx|

≤ |x|, ισότητα μόνο για x = 0

lim ημx/x, x → 0

1

lim (συνx − 1)/x, x → 0

0

lim ημx, x → x₀

ημx₀

όριο σύνθετης f(g(x))

θέτουμε u = g(x), u → u₀