Όριο συνάρτησης στο x₀ ∈ R

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Το όριο γεννήθηκε από ερωτήματα όπως η στιγμιαία ταχύτητα, η εφαπτομένη μιας καμπύλης και το εμβαδό μικτόγραμμου χωρίου.
2. Γράφουμε lim f(x) = ℓ καθώς x → x₀ όταν οι τιμές f(x) πλησιάζουν όσο θέλουμε το ℓ για κάθε x ≠ x₀ αρκετά κοντά στο x₀.
3. Για να ψάξουμε όριο στο x₀, η f πρέπει να ορίζεται σε σύνολο (α, x₀) ∪ (x₀, β) ή (α, x₀) ή (x₀, β)· το x₀ δεν χρειάζεται να ανήκει στο πεδίο ορισμού.
4. Αριστερό όριο: x → x₀ με x < x₀· δεξιό όριο: x → x₀ με x > x₀. Μαζί λέγονται πλευρικά όρια.
5. Αν η f ορίζεται και στις δύο πλευρές, το όριο είναι ℓ αν και μόνο αν και τα δύο πλευρικά όρια είναι ℓ.
6. Αυστηρός ορισμός (ε, δ): για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε 0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − ℓ| < ε. Το όριο, αν υπάρχει, είναι μοναδικό.
7. lim f(x) = ℓ ⇔ lim (f(x) − ℓ) = 0 ⇔ lim f(x₀ + h) = ℓ καθώς h → 0.
8. Το όριο της ταυτοτικής f(x) = x στο x₀ είναι x₀ και της σταθερής g(x) = c είναι c.

Όροι

lim f(x) = ℓ (x → x₀)

f(x) όσο θέλουμε κοντά στο ℓ

αριστερό όριο

x → x₀ με x < x₀

δεξιό όριο

x → x₀ με x > x₀

πλευρικά όρια

το αριστερό και το δεξιό όριο

όριο ℓ στο x₀ (και οι 2 πλευρές)

αριστερό = δεξιό = ℓ

πλευρικά όρια διαφορετικά

το όριο δεν υπάρχει

x₀ εκτός πεδίου ορισμού

το όριο μπορεί να υπάρχει

ορισμός ε, δ

0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − ℓ| < ε

μοναδικότητα ορίου

το όριο, αν υπάρχει, είναι ένα

lim f(x) = ℓ

⇔ lim (f(x) − ℓ) = 0

lim x (x → x₀)

x₀

lim c (x → x₀)

c

«κοντά στο x₀»

σε (α, x₀) ∪ (x₀, β) ή μία πλευρά