Μονότονες συναρτήσεις, αντίστροφη συνάρτηση

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ αν για x₁ < x₂ στο Δ ισχύει f(x₁) < f(x₂), και γνησίως φθίνουσα αν f(x₁) > f(x₂)· και στις δύο περιπτώσεις λέγεται γνησίως μονότονη.
2. Ολικό μέγιστο στο x₀: f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x του πεδίου ορισμού· ολικό ελάχιστο: f(x) ≥ f(x₀). Μια συνάρτηση μπορεί να έχει και τα δύο, ένα ή κανένα.
3. Η f είναι 1−1 όταν διαφορετικά x δίνουν διαφορετικές τιμές, ισοδύναμα όταν f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.
4. Για 1−1 συνάρτηση, καμία οριζόντια ευθεία δεν συναντά τη γραφική παράσταση σε δύο σημεία και η f(x) = y έχει μία λύση για κάθε y του συνόλου τιμών.
5. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1−1, όχι όμως και αντίστροφα.
6. Αν η f είναι 1−1, η αντίστροφη f⁻¹ έχει πεδίο ορισμού το f(A), σύνολο τιμών το A, και f(x) = y ⇔ f⁻¹(y) = x.
7. Ισχύουν f⁻¹(f(x)) = x για x ∈ A και f(f⁻¹(y)) = y για y ∈ f(A).
8. Η αντίστροφη της αˣ είναι η logαx· οι Cf και Cf⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την y = x.

Όροι

γνησίως αύξουσα στο Δ

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

γνησίως φθίνουσα στο Δ

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

αύξουσα (απλώς) στο Δ

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

ολικό μέγιστο f(x₀)

f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x ∈ A

ολικό ελάχιστο f(x₀)

f(x) ≥ f(x₀) για κάθε x ∈ A

συνάρτηση 1−1

f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

οριζόντια ευθεία και Cf (f 1−1)

το πολύ ένα κοινό σημείο

γνησίως μονότονη f

είναι 1−1

f(x) = x²

δεν είναι 1−1 στο R

πεδίο ορισμού f⁻¹

f(A), οι τιμές της f

f(x) = y

⇔ f⁻¹(y) = x

f⁻¹(f(x))

x, για κάθε x ∈ A

αντίστροφη της αˣ

logαx, 0 < α ≠ 1

Cf και Cf⁻¹

συμμετρικές ως προς y = x