Η απλή αρμονική ταλάντωση εξετάζεται με τρεις ματιές: κινηματικά (εξισώσεις x, υ, α), δυναμικά (δύναμη επαναφοράς F = −Dx και περίοδος) και ενεργειακά (σταθερή ενέργεια ταλάντωσης).
Γ΄ Λυκείου · Φυσική · 30 λεπτά
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Ταλάντωση είναι μια περιοδική κίνηση πέρα δώθε· όταν η τροχιά είναι ευθεία μιλάμε για γραμμική ταλάντωση. Η απλή αρμονική είναι ειδική περίπτωση της γραμμικής.
Κινηματικά: x = A·ημωt, υ = υmax·συνωt, α = −αmax·ημωt, με υmax = ωA και αmax = ω²A. Το πλάτος A είναι η μέγιστη απομάκρυνση από το Ο.
Οι εξισώσεις αυτές προϋποθέτουν ότι τη στιγμή 0 το σώμα περνά από το Ο κινούμενο θετικά. Αλλιώς μπαίνει αρχική φάση φ: x = A·ημ(ωt + φ), και αν τη στιγμή 0 το σώμα απέχει d από το Ο, τότε ημφ = d/A. Η γωνία ωt + φ λέγεται φάση.
Δυναμικά: από F = m·α προκύπτει F = −mω²x. Η συνολική δύναμη είναι ανάλογη με την απομάκρυνση και αντίθετη σε αυτήν, ενώ στο Ο μηδενίζεται· γι' αυτό το Ο είναι η θέση ισορροπίας.
Με D = mω² γράφουμε F = −D·x, τη συνθήκη για απλή αρμονική ταλάντωση. Η F λέγεται δύναμη επαναφοράς και η D σταθερά επαναφοράς. Από αυτήν βγαίνει η περίοδος T = 2π√(m/D).
Σε σώμα κρεμασμένο σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο, με τον νόμο του Hooke αποδεικνύεται ότι η συνισταμένη είναι −K·x· άρα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με D = K και T = 2π√(m/K).
Ενεργειακά: K = ½mω²A²·συν²ωt και U = ½Dx² = ½mω²A²·ημ²ωt. Η δυναμική ενέργεια βγαίνει από το έργο που χρειάζεται για να μετακινηθεί το σώμα από το Ο ως το x.
Η ενέργεια ταλάντωσης E = K + U = ½DA² = ½mω²A² = ½m·υmax² δεν αλλάζει με τον χρόνο και μεγαλώνει με το A².
Όταν η απομάκρυνση από το μέσο Ο της τροχιάς δίνεται από τη x = A·ημωt. Ισοδύναμα, όταν η συνολική δύναμη είναι ανάλογη με την απομάκρυνση και αντίθετη σε αυτήν, F = −D·x. Αυτή είναι η συνθήκη που ελέγχουμε πριν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της περιόδου.
Πού έχει το σώμα μέγιστη ταχύτητα και πού μέγιστη επιτάχυνση;
Τη μέγιστη ταχύτητα υmax = ωA την έχει όταν περνά από τη θέση ισορροπίας (x = 0). Τη μέγιστη επιτάχυνση αmax = ω²A την έχει στις ακραίες θέσεις x = ±A, όπου η ταχύτητα μηδενίζεται.
Γιατί η ενέργεια της ταλάντωσης μένει σταθερή;
Η κινητική και η δυναμική ενέργεια αλλάζουν συνεχώς, η μία με συν²ωt και η άλλη με ημ²ωt, αλλά το άθροισμά τους είναι E = ½DA² = ½mω²A². Η ενέργεια εξαρτάται μόνο από το τετράγωνο του πλάτους.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.