ΕΝΘΕΤΟ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Ένθετο του κεφαλαίου 1: με παραγώγους βγαίνουν από τη x = A·ημωt οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση, μαζί με τις μέγιστες τιμές τους.
Γ΄ Λυκείου · Φυσική · 30 λεπτά
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Στην αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι x = A·ημωt.
Η στιγμιαία ταχύτητα σε ευθύγραμμη κίνηση είναι το όριο του Δx/Δt για Δt → 0, δηλαδή η παράγωγος dx/dt.
Για να παραγωγίσουμε το A·ημωt χρειάζεται ο κανόνας της σύνθετης συνάρτησης: [f(g(t))]′ = f′(g(t))·g′(t).
Έτσι υ = Aω·συνωt. Το σταθερό γινόμενο Aω είναι η μέγιστη ταχύτητα, άρα υ = υmax·συνωt.
Η επιτάχυνση είναι το όριο του Δυ/Δt, η παράγωγος dυ/dt· παραγωγίζοντας ξανά βρίσκουμε α = −Aω²·ημωt.
Το σταθερό Aω² είναι η μέγιστη επιτάχυνση, άρα α = −αmax·ημωt, η μορφή που χρησιμοποιεί η ενότητα 1-3.
Πώς βρίσκουμε την ταχύτητα από την εξίσωση της απομάκρυνσης;
Η ταχύτητα είναι το όριο του Δx/Δt όταν Δt → 0, δηλαδή η παράγωγος dx/dt. Παραγωγίζοντας τη x = A·ημωt με τον κανόνα της σύνθετης συνάρτησης βρίσκουμε υ = Aω·συνωt.
Γιατί στην επιτάχυνση εμφανίζεται το πρόσημο μείον;
Η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας, dυ/dt. Η παράγωγος του συνημιτόνου είναι μείον ημίτονο, οπότε από υ = Aω·συνωt προκύπτει α = −Aω²·ημωt.
Τι εκφράζουν τα γινόμενα Aω και Aω²;
Είναι σταθερά. Το Aω έχει διαστάσεις ταχύτητας και είναι η μέγιστη ταχύτητα υmax· το Aω² έχει διαστάσεις επιτάχυνσης και είναι η μέγιστη επιτάχυνση αmax.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.