ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

Ο ίδιος αριθμός, σε πολικές συντεταγμένες: πόσο μακριά και προς ποια γωνία.

Β΄ Λυκείου · Μαθηματικά · Ενοτητα 5 · 25 λεπτά

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Ιστορικά, ο de Moivre (1739) και ο Euler (1748) συνέδεσαν τους μιγαδικούς με την τριγωνομετρία· οι Wessel (1799) και Argand (1806) τους χρησιμοποίησαν για τη διεύθυνση στο επίπεδο και ο Gauss καθιέρωσε τη γεωμετρική ερμηνεία (1831).
Όρισμα του z ≠ 0 είναι κάθε γωνία με αρχική πλευρά την Οx και τελική την ΟΜ· το μοναδικό στο [0, 2π) είναι το πρωτεύον Arg(z). Δύο ορίσματα διαφέρουν κατά 2κπ.
Με x = ρσυνθ και y = ρημθ, όπου ρ = |z|, παίρνουμε την τριγωνομετρική (πολική) μορφή z = ρ(συνθ + iημθ).
Ισότητα: δύο μη μηδενικοί μιγαδικοί είναι ίσοι όταν έχουν ίσα μέτρα και ορίσματα που διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π.
Γινόμενο: μέτρα επί, ορίσματα συν· πηλίκο: μέτρα διά, ορίσματα πλην. Ο πολλαπλασιασμός με συνθ + iημθ στρέφει κατά θ· ο πολλαπλασιασμός με i στρέφει κατά π/2.
Θεώρημα De Moivre (με επαγωγή): [ρ(συνθ + iημθ)]ⁿ = ρⁿ(συν νθ + iημ νθ), και για αρνητικό ακέραιο ν.
Εφαρμογές: γεωμετρικοί τόποι με ορίσματα και τριγωνομετρικές ταυτότητες μέσω μιγαδικών.

Πρόσωπα

A. de Moivre: πρώτες ιδέες για την τριγωνομετρική μορφή (1739)· το θεώρημα φέρει το όνομά του
L. Euler: τόνισε τη σημασία των συνx + iημx (1748)
C. Wessel και R. Argand: χρησιμοποίησαν τους μιγαδικούς για τη διεύθυνση στο επίπεδο
C. F. Gauss: καθιέρωσε τη γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών (1831)

Όροι

όρισμα του z ≠ 0: γωνία από την Οx ως την ΟΜ
πρωτεύον όρισμα Arg(z): το όρισμα που ανήκει στο [0, 2π)
δύο ορίσματα του ίδιου z: διαφέρουν κατά 2κπ
όρισμα του z = 0: δεν ορίζεται
τριγωνομετρική μορφή: z = ρ(συνθ + iημθ)
ρ στην τριγωνομετρική μορφή: το μέτρο |z|
x και y με ρ, θ: x = ρσυνθ, y = ρημθ
ισότητα σε πολική μορφή: ίσα μέτρα, ορίσματα διαφέρουν 2κπ
z₁·z₂ σε πολική μορφή: ρ₁ρ₂[συν(θ₁+θ₂) + iημ(θ₁+θ₂)]
z₁/z₂ σε πολική μορφή: (ρ₁/ρ₂)[συν(θ₁−θ₂) + iημ(θ₁−θ₂)]
πολλαπλασιασμός με συνθ + iημθ: στροφή της ακτίνας κατά θ
πολλαπλασιασμός με i: στροφή κατά π/2
θεώρημα De Moivre: zⁿ = ρⁿ(συν νθ + iημ νθ)
De Moivre για αρνητικό ν: ισχύει επίσης
(συνx + iημx)(συνy + iημy): συν(x + y) + iημ(x + y)

ΠΑΙΞΕ ΤΟΑριθμοί · Τηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Ασκήσεις με λύσεις

Κάθε άσκηση διορθώνεται μόλις απαντήσεις και δείχνει πώς βγαίνει η σωστή απάντηση. Οι ασκήσεις φτιάχνονται για αυτή την ενότητα κάθε φορά από την αρχή. Δεν είναι οι λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.

Συχνές απορίες

Ποια είναι η τριγωνομετρική μορφή;

z = ρ(συνφ + iημφ), με ρ το μέτρο και φ το όρισμα.

Τι είναι το όρισμα;

Η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα του z με τον θετικό ημιάξονα x.

Γιατί βολεύει;

Γιατί ο πολλαπλασιασμός γίνεται πολλαπλασιασμός μέτρων και πρόσθεση ορισμάτων.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Είσαι εκπαιδευτικός; Ανάρτησέ το στο Google Classroom ↗

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα