ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: μια εξίσωση βαθμού ν έχει στο ℂ ν ρίζες, αν μετρήσουμε και τις πολλαπλές. Ισοδύναμη μορφή: ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές γράφεται ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων.
2. Ιστορία: ο Descartes (1637) έγραψε για «φανταστικές» ρίζες, ο Leibniz (1702) έκανε λάθος ισχυρισμό για την παραγοντοποίηση, και μετά από ατελείς προσπάθειες (d'Alembert, Euler, Lagrange) η πρώτη πλήρης απόδειξη ήρθε από τον Gauss, στη διδακτορική του διατριβή (1799).
3. Στο ℝ η zⁿ = 1 έχει μία ή δύο λύσεις· στο ℂ έχει ακριβώς ν διαφορετικές: zκ = συν(2κπ/ν) + iημ(2κπ/ν), κ = 0, …, ν − 1, οι νιοστές ρίζες της μονάδας.
4. Αν ω = συν(2π/ν) + iημ(2π/ν), οι ρίζες είναι 1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹ και οι εικόνες τους είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου στον μοναδιαίο κύκλο.
5. Η zⁿ = α, α = ρ(συνθ + iημθ) με ρ > 0, έχει ν λύσεις ⁿ√ρ[συν((2κπ + θ)/ν) + iημ((2κπ + θ)/ν)], κορυφές κανονικού ν-γώνου σε κύκλο ακτίνας ⁿ√ρ.
6. Αν z₁, …, zν οι ρίζες του P(z), τότε P(z) = αν(z − z₁)(z − z₂)…(z − zν)· οι εξισώσεις λύνονται με τις μεθόδους του ℝ.
7. Θεώρημα 3: σε εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, αν α + βi είναι ρίζα, τότε και ο συζυγής α − βi είναι ρίζα· έτσι το πολυώνυμο διαιρείται με (x − z₀)(x − z̄₀), που έχει πραγματικούς συντελεστές.

Πρόσωπα

R. Descartes

στη «La Géométrie» (1637) εισάγει τον όρο «φανταστικές» ρίζες

G. W. Leibniz

ισχυρίστηκε λανθασμένα (1702) ότι ένα πολυώνυμο δεν αναλύεται σε παράγοντες 1ου ή 2ου βαθμού

d'Alembert, L. Euler, J. L. Lagrange

ατελείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος

C. F. Gauss

πρώτη αυστηρή απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας (1799)

Όροι

Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας

εξίσωση βαθμού ν έχει ν ρίζες στο ℂ

πρώτη αυστηρή απόδειξη

Gauss, 1799

νιοστές ρίζες της μονάδας

οι ν λύσεις της zⁿ = 1

λύσεις της zⁿ = 1

συν(2κπ/ν) + iημ(2κπ/ν)

τιμές του κ στις ρίζες

κ = 0, 1, …, ν − 1

ω της zⁿ = 1

συν(2π/ν) + iημ(2π/ν)

ρίζες της zⁿ = 1 με το ω

1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹

εικόνες των ριζών της zⁿ = 1

κορυφές κανονικού ν-γώνου

ρίζες της z⁴ = 1

1, i, −1, −i

πλήθος λύσεων της zⁿ = α, α ≠ 0

ακριβώς ν

ακτίνα κύκλου ριζών της zⁿ = α

ⁿ√ρ, όπου ρ = |α|

ανάλυση του P(z) με τις ρίζες

αν(z − z₁)(z − z₂)…(z − zν)

z₀ ρίζα, πραγματικοί συντελεστές

και ο συζυγής z̄₀ είναι ρίζα

(x − z₀)(x − z̄₀)

τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές

πολυώνυμο με πραγματικούς συντελ.

γινόμενο παραγόντων 1ου και 2ου βαθμού