ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός γίνονται όπως με διώνυμα, με i² = −1: (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i και (α + βi)(γ + δi) = (αγ − βδ) + (αδ + βγ)i.
2. Αφαίρεση: (α + βi) − (γ + δi) = (α − γ) + (β − δ)i. Στο επίπεδο, η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος (διαφοράς) είναι το άθροισμα (διαφορά) των διανυσματικών ακτίνων.
3. Συζυγής του z = α + βi είναι ο z̄ = α − βi· ισχύει (α + βi)(α − βi) = α² + β². Για διαίρεση πολλαπλασιάζουμε με τον συζυγή του παρονομαστή.
4. Δυνάμεις: zⁿ όπως στο ℝ, z⁰ = 1 και z⁻ⁿ = 1/zⁿ για z ≠ 0. Για το i: iⁿ = iᵘ, όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το 4.
5. Ιδιότητες συζυγών: οι εικόνες είναι συμμετρικές ως προς τον πραγματικό άξονα· z + z̄ = 2α, z − z̄ = 2βi· ο συζυγής αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου και δύναμης είναι το άθροισμα, γινόμενο, πηλίκο και δύναμη των συζυγών.
6. Δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές: αν Δ > 0 δύο πραγματικές λύσεις, αν Δ = 0 μία διπλή, αν Δ < 0 δύο συζυγείς μιγαδικές (−β ± i√(−Δ))/(2α). Ισχύουν και οι τύποι Vieta: άθροισμα −β/α, γινόμενο γ/α.

Όροι

(α + βi) + (γ + δi)

(α + γ) + (β + δ)i

(α + βi) − (γ + δi)

(α − γ) + (β − δ)i

(α + βi)(γ + δi)

(αγ − βδ) + (αδ + βγ)i

συζυγής του α + βi

α − βi

(α + βi)(α − βi)

α² + β²

διαίρεση μιγαδικών

επί τον συζυγή του παρονομαστή

i²

−1

i³

−i

i⁴

1

iⁿ με ν = 4ρ + υ

iᵘ

εικόνες z και z̄

συμμετρικές ως προς τον x′x

z + z̄

2α (πραγματικός)

z − z̄

2βi (φανταστικός)

συζυγής του z₁ + z₂

z̄₁ + z̄₂

συζυγής του z₁·z₂

z̄₁ · z̄₂

λύσεις της z² = −1

i και −i

αz² + βz + γ = 0 με Δ < 0

(−β ± i√(−Δ)) / (2α)

λύσεις της z² − 2z + 2 = 0

1 + i και 1 − i