Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Οι del Ferro και Tartaglia (16ος αιώνας) βρήκαν τύπο για εξισώσεις 3ου βαθμού· όταν η «διακρίνουσα» ήταν αρνητική, ο τύπος έβγαζε τετραγωνικές ρίζες αρνητικών ακόμη κι όταν η ρίζα ήταν πραγματική (π.χ. 4).
2. Ο Bombelli έκανε πράξεις με τέτοιες παραστάσεις και βρήκε σωστά τη ρίζα 4· έτσι οι αριθμοί α + βi, «φανταστικοί» και μετά «μιγαδικοί», έγιναν εργαλείο των Μαθηματικών.
3. Το σύνολο ℂ περιέχει το ℝ, έχει πρόσθεση και πολλαπλασιασμό με τις ίδιες ιδιότητες, ένα στοιχείο i με i² = −1, και κάθε z γράφεται μοναδικά ως z = α + βi.
4. Ο α είναι το πραγματικό μέρος Re(z), ο β το φανταστικό μέρος Im(z)· ο βi λέγεται φανταστικός αριθμός. Κάθε πραγματικός α είναι α + 0i.
5. Ισότητα: α + βi = γ + δi ⇔ α = γ και β = δ. Οι μιγαδικοί δεν διατάσσονται.
6. Γεωμετρική παράσταση: ο α + βi αντιστοιχεί στο σημείο Μ(α, β), την εικόνα του, ή στη διανυσματική ακτίνα ΟΜ⃗. Ο x′x είναι ο πραγματικός άξονας, ο y′y ο φανταστικός.

Πρόσωπα

S. del Ferro και N. Tartaglia

βρήκαν μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού (16ος αιώνας)

R. Bombelli

έκανε πράξεις με ρίζες αρνητικών και έφτασε σε πραγματική ρίζα

J. Hadamard

απέδειξε το 1896 το θεώρημα των πρώτων αριθμών με μιγαδική ανάλυση

Όροι

φανταστική μονάδα i

i² = −1

σύνολο ℂ

οι μιγαδικοί αριθμοί α + βi

μιγαδικός αριθμός

z = α + βi, α και β πραγματικοί

Re(z) του z = α + βi

α, το πραγματικό μέρος

Im(z) του z = α + βi

β, το φανταστικό μέρος

φανταστικός αριθμός

βi = 0 + βi

πραγματικός αριθμός α στο ℂ

α + 0i

α + βi = γ + δi ⇔

α = γ και β = δ

α + βi = 0 ⇔

α = 0 και β = 0

διάταξη στο ℂ

δεν ορίζεται

εικόνα του α + βi

το σημείο Μ(α, β)

μιγαδικό επίπεδο

επίπεδο με εικόνες μιγαδικών

πραγματικός άξονας

ο x′x, εικόνες πραγματικών

φανταστικός άξονας

ο y′y, εικόνες φανταστικών

ρίζες της x² = −1 στο ℂ

i και −i