ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 5 είναι 0, 1, 2, 3, 4· αριθμοί όπως 2, 7, −3 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, άρα είναι ισοϋπόλοιποι με μέτρο 5.
2. Ορισμός: α ≡ β (mod m) όταν οι διαιρέσεις α : m και β : m έχουν ίδιο υπόλοιπο· αν υ είναι το υπόλοιπο του α, τότε α ≡ υ (mod m).
3. Θεώρημα 11: α ≡ β (mod m) αν και μόνο αν m | (α − β).
4. Το σύμβολο ≡ το εισήγαγε ο Gauss, γιατί η σχέση μοιάζει με την ισότητα: είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική.
5. Θεώρημα 12: ισοτιμίες με το ίδιο μέτρο προστίθενται, αφαιρούνται και πολλαπλασιάζονται κατά μέλη· άρα α ≡ β ⇒ αγ ≡ βγ και αⁿ ≡ βⁿ (mod m).
6. Η διαίρεση των μελών με τον ίδιο αριθμό δεν δίνει πάντα ισοτιμία.
7. Εφαρμογές: κριτήρια διαιρετότητας (με το 9 μέσω του αθροίσματος ψηφίων, με το 25 μέσω των δύο τελευταίων ψηφίων) και εύρεση του τελευταίου ψηφίου μεγάλων δυνάμεων.

Πρόσωπα

C. F. Gauss

εισήγαγε το σύμβολο ≡ για τις ισοτιμίες

Όροι

ισοϋπόλοιποι με μέτρο m

ίδιο υπόλοιπο στη διαίρεση με m

α ≡ β (mod m) ⇔

m | (α − β)

ισοτιμία

σχέση της μορφής α ≡ β (mod m)

7 ≡ 2 (mod 5)

7 και 2 αφήνουν υπόλοιπο 2 με το 5

α ≡ υ (mod m)

υ το υπόλοιπο της διαίρεσης α : m

ανακλαστική ιδιότητα

α ≡ α (mod m)

συμμετρική ιδιότητα

α ≡ β ⇒ β ≡ α (mod m)

μεταβατική ιδιότητα

α ≡ β, β ≡ γ ⇒ α ≡ γ (mod m)

πρόσθεση ισοτιμιών

α + γ ≡ β + δ (mod m)

πολλαπλασιασμός ισοτιμιών

αγ ≡ βδ (mod m)

δυνάμεις σε ισοτιμία

α ≡ β ⇒ αⁿ ≡ βⁿ (mod m)

διαίρεση μελών ισοτιμίας

δεν δίνει πάντα ισοτιμία

ωροδείκτης ρολογιού

δείχνει την ώρα mod 12

κριτήριο διαιρετότητας με 9

9 διαιρεί το άθροισμα των ψηφίων

κριτήριο διαιρετότητας με 25

25 διαιρεί το τελευταίο διψήφιο

τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού

το υπόλοιπό του mod 10

modulo (μόντουλο)

το μέτρο m της ισοτιμίας