Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Διοφαντική Ανάλυση λέγεται η αναζήτηση ακέραιων λύσεων πολυωνυμικών εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές, από το όνομα του Διόφαντου («Αριθμητικά»).
2. Κλασικό πρόβλημα: οι Πυθαγόρειες τριάδες x² + y² = z², με λύσεις x = μ² − ν², y = 2μν, z = μ² + ν²· το διατυπώνουν ο Ευκλείδης και ο Διόφαντος.
3. Ο Fermat ισχυρίστηκε ότι η xⁿ + yⁿ = zⁿ δεν έχει λύσεις για n > 2· το απέδειξε ο A. Wiles το 1994. Ο Matyasevich έδειξε (1970) ότι δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος για κάθε διοφαντική εξίσωση, όπως είχε ρωτήσει ο Hilbert.
4. Γραμμική διοφαντική εξίσωση: αx + βy = γ με α, β, γ ακέραιους και α ≠ 0 ή β ≠ 0, όταν ζητάμε ακέραια ζεύγη (x, y).
5. Θεώρημα 10: έχει λύση αν και μόνο αν δ = (α, β) διαιρεί το γ· τότε όλες οι λύσεις είναι x = x₀ + (β/δ)t, y = y₀ − (α/δ)t, t ακέραιος.
6. Γεωμετρικά: αν δ | γ, η ευθεία αx + βy = γ περιέχει άπειρα «ακέραια» σημεία (με ακέραιες συντεταγμένες)· αλλιώς δεν περιέχει κανένα.
7. Στα προβλήματα κρατάμε μόνο όσες λύσεις ταιριάζουν στις συνθήκες (π.χ. θετικές), λύνοντας ανισώσεις για το t.

Πρόσωπα

Διόφαντος

στα «Αριθμητικά» μελέτησε συστηματικά εξισώσεις με ακέραιες λύσεις

Ευκλείδης

δίνει γεωμετρικά τη γενική λύση των Πυθαγόρειων τριάδων

P. Fermat

ισχυρίστηκε ότι η xⁿ + yⁿ = zⁿ είναι αδύνατη για n > 2

A. Wiles

απέδειξε τον ισχυρισμό του Fermat το 1994

D. Hilbert

έθεσε το 1900 το ερώτημα για αλγόριθμο επίλυσης διοφαντικών εξισώσεων

Y. Matyasevich

απέδειξε το 1970 ότι τέτοιος αλγόριθμος δεν υπάρχει

Όροι

Διοφαντική Ανάλυση

ακέραιες λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων

γραμμική διοφαντική εξίσωση

αx + βy = γ με ακέραιες λύσεις

Πυθαγόρειες τριάδες

ακέραιες λύσεις της x² + y² = z²

τύποι Πυθαγόρειων τριάδων

μ² − ν², 2μν, μ² + ν²

Θεώρημα Fermat (Wiles 1994)

xⁿ + yⁿ = zⁿ αδύνατη για n > 2

αx + βy = γ έχει λύση ⇔

(α, β) διαιρεί το γ

2x + 6y = 13

καμία ακέραια λύση

γενική λύση: x

x₀ + (β/δ)·t, t ακέραιος

γενική λύση: y

y₀ − (α/δ)·t, t ακέραιος

ειδική (μερική) λύση

μία συγκεκριμένη λύση (x₀, y₀)

πλήθος λύσεων, αν υπάρχει μία

άπειρες

ευθεία με δ | γ

άπειρα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες

ευθεία 6x + 4y = 5

κανένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες