ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η εισαγωγή αναφέρει ότι η μοναδική ανάλυση σε πρώτους και η ύπαρξη άπειρων πρώτων υπάρχουν ήδη στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, μιλά για τους πρώτους της μορφής 2^ν − 1 και 2^(2^κ) + 1 και για το Θεώρημα των πρώτων αριθμών (πλήθος περίπου ν/lnν).
2. Ακέραιος α ≠ 0, ±1 είναι πρώτος όταν οι μόνοι θετικοί διαιρέτες του είναι 1 και |α|· αλλιώς λέγεται σύνθετος. Οι ±1 δεν είναι ούτε πρώτοι ούτε σύνθετοι· ο 2 είναι ο μόνος άρτιος πρώτος.
3. Θεώρημα 6: κάθε ακέραιος α > 1 έχει τουλάχιστον έναν πρώτο διαιρέτη (ο μικρότερος διαιρέτης του πάνω από 1 είναι πρώτος).
4. Πόρισμα 4: κάθε σύνθετος α > 1 έχει πρώτο διαιρέτη p ≤ √α· έτσι οι δοκιμές περιορίζονται στους πρώτους ως √α.
5. Κόσκινο του Ερατοσθένη: γράφουμε 2, 3, …, ν και διαγράφουμε διαδοχικά τα πολλαπλάσια κάθε πρώτου ως √ν· όσοι μένουν είναι οι πρώτοι.
6. Θεώρημα 7 (Ευκλείδη): υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Θεώρημα 8: αν πρώτος p διαιρεί το αβ, διαιρεί τον α ή τον β.
7. Θεώρημα 9 (Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής): κάθε α > 1 αναλύεται μοναδικά σε γινόμενο πρώτων· κανονική μορφή α = p₁^α₁·p₂^α₂·…·pκ^ακ.
8. Από τις κανονικές μορφές: Μ.Κ.Δ. = γινόμενο κοινών παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη, Ε.Κ.Π. = γινόμενο κοινών και μη κοινών με τον μεγαλύτερο εκθέτη. Εφαρμογές: αν 2^ν − 1 πρώτος τότε ν πρώτος· η √ν είναι άρρητη όταν ν δεν είναι τετράγωνο.

Πρόσωπα

Ευκλείδης

στα «Στοιχεία» αποδεικνύει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι

Ερατοσθένης

το κόσκινο για την εύρεση των πρώτων αριθμών

G. Hardy

θαύμασε την απόδειξη του Ευκλείδη για τους άπειρους πρώτους

C. F. Gauss

συνέδεσε τους πρώτους 2^(2^κ) + 1 με την κατασκευή κανονικών πολυγώνων· μαζί με τον Legendre διαπίστωσε εμπειρικά τον νόμο ν/lnν

A. M. Legendre

διαπίστωσε εμπειρικά την κατανομή των πρώτων

Όροι

πρώτος αριθμός

θετικοί διαιρέτες μόνο το 1 και ο |α|

σύνθετος αριθμός

ακέραιος ≠ 0, ±1 που δεν είναι πρώτος

1 και −1

ούτε πρώτοι ούτε σύνθετοι

ο μόνος άρτιος πρώτος

το 2

Θεώρημα 6

κάθε α > 1 έχει πρώτο διαιρέτη

σύνθετος α > 1

έχει πρώτο διαιρέτη p ≤ √α

κόσκινο του Ερατοσθένη

διαγράφουμε πολλαπλάσια των πρώτων

Θεώρημα του Ευκλείδη

υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί

p πρώτος και p | αβ ⇒

p | α ή p | β

Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής

μοναδική ανάλυση σε πρώτους παράγοντες

κανονική μορφή του 360

2³ · 3² · 5

Μ.Κ.Δ. από κανονικές μορφές

κοινοί παράγοντες, μικρότερος εκθέτης

Ε.Κ.Π. από κανονικές μορφές

όλοι οι παράγοντες, μεγαλύτερος εκθέτης

δίδυμοι πρώτοι

πρώτοι με διαφορά 2, π.χ. 29 και 31

Θεώρημα των πρώτων αριθμών

πλήθος πρώτων ≤ ν περίπου ν/lnν

2^ν − 1 πρώτος ⇒

ν πρώτος

√ν, ν όχι τέλειο τετράγωνο

άρρητος αριθμός