Θεωρία Αριθμών

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η Θεωρία Αριθμών μελετά τις ιδιότητες των θετικών ακεραίων· συχνά μια πρόταση ελέγχεται σε λίγες περιπτώσεις, αλλά πρέπει να αποδειχτεί για όλες.
2. Ο Μαυρόλυκος (1557) έδειξε ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών είναι ν², περνώντας από κάθε περίπτωση στην επόμενη· ο Pascal (1654) διατύπωσε καθαρά τη μέθοδο.
3. Οι όροι «μαθηματική» ή «τέλεια επαγωγή» καθιερώθηκαν τον 19ο αιώνα (de Morgan, Dedekind), σε αντίθεση με την «ατελή επαγωγή» των Φυσικών Επιστημών.
4. Αρχή της μαθηματικής επαγωγής: αν ο P(1) είναι αληθής και η αλήθεια του P(ν) φέρνει την αλήθεια του P(ν + 1), τότε ο P(ν) ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν.
5. Εικόνα της μεθόδου: βιβλία στη σειρά, όπου το καθένα ρίχνει το επόμενο· αν πέσει το πρώτο, πέφτουν όλα.
6. Και τα δύο βήματα είναι αναγκαία· η επαγωγή μπορεί επίσης να ξεκινά από άλλον αρχικό ακέραιο (π.χ. ν ≥ 3 ή ν ≥ 0).
7. Εφαρμογές: αποδείξεις τύπων αθροισμάτων και της ανισότητας του Bernoulli.

Πρόσωπα

Francesco Mauroliko (Μαυρόλυκος)

απέδειξε το 1557 ότι 1 + 3 + … + (2ν − 1) = ν²

Blaise Pascal

διατύπωσε καθαρά τη μέθοδο το 1654, στο αριθμητικό τρίγωνο

A. de Morgan

καθιέρωσε τον όρο μαθηματική επαγωγή (1838)

R. Dedekind

επίσης καθιέρωσε τον όρο (1887)

Bernoulli

η ανισότητα (1 + α)^ν > 1 + να φέρει το όνομά του

Όροι

μαθηματική (τέλεια) επαγωγή

απόδειξη για κάθε θετικό ακέραιο ν

1ο βήμα επαγωγής

ο P(1) είναι αληθής

2ο βήμα επαγωγής

P(ν) αληθής ⇒ P(ν + 1) αληθής

επαγωγική υπόθεση

υποθέτουμε ότι ισχύει ο P(ν)

ατελής επαγωγή

γενίκευση από παραδείγματα, χωρίς απόδειξη

1 + 3 + 5 + … + (2ν − 1)

ν²

ν² + (2ν + 1)

(ν + 1)²

1 + 2 + … + ν

ν(ν + 1)/2

ν² − ν + 41 για ν = 41

41², άρα όχι πρώτος

«κάθε 2ν είναι περιττός»

ισχύει μόνο το 2ο βήμα, άρα ψευδής

ανισότητα Bernoulli

(1 + α)^ν > 1 + να, α > −1, α ≠ 0, ν ≥ 2

αρχικός ακέραιος ≠ 1

το 1ο βήμα γίνεται σε αυτόν, π.χ. ν = 3

εικόνα της επαγωγής

βιβλία που ρίχνει το ένα το άλλο