Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Το πηλίκο της διαίρεσης του α με τον β είναι ο ακέραιος κ για τον οποίο η διαφορά α − κβ είναι ο μικρότερος μη αρνητικός αριθμός, μικρότερος του β.
Θεώρημα 1: για φυσικούς α, β με β ≠ 0 υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί κ, υ με α = κβ + υ και 0 ≤ υ < β. Η απόδειξη στηρίζεται στην αρχή της καλής διάταξης: κάθε μη κενό υποσύνολο του ℕ έχει ελάχιστο στοιχείο.
Γενίκευση για ακέραιους: α = κβ + υ με 0 ≤ υ < |β|. Η διαδικασία λέγεται ευκλείδεια ή αλγοριθμική διαίρεση· αν υ = 0 η διαίρεση είναι τέλεια.
Με αρνητικό διαιρετέο ή διαιρέτη ξεκινάμε από τη διαίρεση των απόλυτων τιμών και διορθώνουμε ώστε το υπόλοιπο να μείνει μη αρνητικό.
Με β = 2 κάθε ακέραιος είναι άρτιος (2κ) ή περιττός (2κ + 1)· γενικά τα δυνατά υπόλοιπα με τον β είναι 0, 1, …, |β| − 1.
Εφαρμογή: χωρίζουμε τους ακεραίους σε μορφές (π.χ. 3κ, 3κ + 1, 3κ + 2) για να αποδείξουμε ιδιότητες, όπως ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιο.
Κάθε άσκηση διορθώνεται μόλις απαντήσεις και δείχνει πώς βγαίνει η σωστή απάντηση. Οι ασκήσεις φτιάχνονται για αυτή την ενότητα κάθε φορά από την αρχή. Δεν είναι οι λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.
Συχνές απορίες
Μπορεί το υπόλοιπο να ισούται με τον διαιρέτη;
Όχι. Τότε θα χωρούσε άλλη μία φορά.
Ποιες τιμές παίρνει το υπόλοιπο;
Από 0 έως β−1.
Τι γίνεται με αρνητικούς;
Η ταυτότητα ισχύει, αρκεί να κρατήσουμε 0 ≤ υ < |β|.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.