ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Στα «Στοιχεία» (βιβλία VII έως IX) ο Ευκλείδης παριστάνει τους αριθμούς με τμήματα και ορίζει διαιρέτη, πολλαπλάσιο, άρτιο, περιττό, πρώτο, πρώτους μεταξύ τους και τέλειο αριθμό.
2. Τέλειος λέγεται ο αριθμός που ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του που είναι μικρότεροι από αυτόν· αν 2^ν − 1 είναι πρώτος, τότε ο 2^(ν−1)(2^ν − 1) είναι τέλειος (6, 28, 496, 8128, …).
3. Ορισμός: για ακέραιους α, β με β ≠ 0, ο β διαιρεί τον α (β | α) όταν α = κβ για κάποιον ακέραιο κ· γράφουμε και α = πολ β.
4. Αν β | α, τότε και −β | α· οι διαιρέτες εμφανίζονται σε ζεύγη αντίθετων. Κάθε ακέραιος διαιρείται με ±1 και ±α, και κάθε β ≠ 0 διαιρεί το 0.
5. Ιδιότητες: αν α | β και β | γ τότε α | γ· αν α | β τότε α | λβ· αν α | β και α | γ τότε α | (β + γ)· αν α | β και β ≠ 0 τότε |α| ≤ |β|.
6. Συνέπεια: αν α | β και α | γ, τότε ο α διαιρεί κάθε γραμμικό συνδυασμό κβ + λγ.
7. Εφαρμογές: εύρεση πιθανών διαιρετών, αποδείξεις διαιρετότητας με επαγωγή και με τα δυνατά υπόλοιπα.

Πρόσωπα

Ευκλείδης

στα «Στοιχεία» VII έως IX ορίζει διαιρέτη, πρώτο και τέλειο αριθμό

M. Mersenne

παρατήρησε πόσο σπάνιοι είναι οι τέλειοι αριθμοί

Όροι

β | α

ο β διαιρεί τον α: α = κβ

διαιρέτης (παράγοντας) του α

ακέραιος β ≠ 0 με α = κβ

α = πολ β

ο α είναι πολλαπλάσιο του β

β ∤ α

η διαίρεση α : β αφήνει υπόλοιπο ≠ 0

αν β | α, τότε και

−β | α

κάθε β ≠ 0 διαιρεί

το 0

μεταβατική ιδιότητα

α | β και β | γ ⇒ α | γ

α | β και α | γ ⇒

α | (κβ + λγ) για κάθε κ, λ

α | β με β ≠ 0 ⇒

|α| ≤ |β|

γραμμικός συνδυασμός β, γ

κβ + λγ, κ και λ ακέραιοι

τέλειος αριθμός

ίσος με το άθροισμα των άλλων διαιρετών

πρώτοι τέλειοι αριθμοί

6, 28, 496, 8128

τέλειος του Ευκλείδη

2^(ν−1)(2^ν − 1), αν 2^ν − 1 πρώτος

πρώτοι μεταξύ τους (Ευκλείδης)

μόνο κοινό μέτρο η μονάδα