Η ΕΞΙΣΩΣΗ

Από τη γενική μορφή στο κέντρο και την ακτίνα, με συμπλήρωση τετραγώνων.

Β΄ Λυκείου · Μαθηματικά · Ενοτητα 3 · 25 λεπτά

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Το πόσο απλή είναι η εξίσωση μιας καμπύλης εξαρτάται από το πού βρίσκονται οι άξονες: ο κύκλος με κέντρο την αρχή γράφεται απλούστερα από κύκλο με κέντρο Κ(x₀, y₀).
Παράλληλη μεταφορά: νέο σύστημα O′XY με αρχή O′(x₀, y₀) και άξονες παράλληλους και ομόρροπους προς τους παλιούς· ισχύει x = x₀ + X, y = y₀ + Y.
Με συμπλήρωση τετραγώνων και μεταφορά της αρχής στο κατάλληλο σημείο, η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0 γίνεται εξίσωση κωνικής σε απλή μορφή.
Έτσι βρίσκουμε το είδος της κωνικής και τα στοιχεία της (κορυφές, κέντρο, εστίες, άξονες), πρώτα στο νέο και μετά στο αρχικό σύστημα.
Μια ευθεία και μια κωνική έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία, γιατί το σύστημά τους καταλήγει σε εξίσωση το πολύ 2ου βαθμού.
Δύο άνισες ρίζες ή μία απλή ρίζα: τέμνονται. Διπλή ρίζα (Δ = 0): η ευθεία εφάπτεται. Καμία ρίζα: δεν έχουν κοινά σημεία.
Η σελίδα κλείνει με τις Γενικές ασκήσεις και τις Ερωτήσεις κατανόησης του κεφαλαίου 3.

Όροι

παράλληλη μεταφορά αξόνων: νέα αρχή O′, άξονες παράλληλοι
νέα τετμημένη X: X = x − x₀
νέα τεταγμένη Y: Y = y − y₀
παλιά τετμημένη x: x = x₀ + X
(x − 2)² + (y + 1)² = 9 με αρχή Κ(2, −1): X² + Y² = 9
συμπλήρωση τετραγώνου: x² + κx = (x + κ/2)² − κ²/4
Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0: μπορεί να είναι κωνική τομή
κοινά σημεία ευθείας και κωνικής: το πολύ δύο
δύο άνισες ρίζες: η ευθεία τέμνει την κωνική
διπλή ρίζα, Δ = 0: η ευθεία εφάπτεται της κωνικής
καμία ρίζα: ευθεία και κωνική δεν έχουν κοινά σημεία
y = 2x και y = x² + 1: εφάπτονται στο Μ(1, 2)

ΠΑΙΞΕ ΤΟΑριθμοί · Τηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Ασκήσεις με λύσεις

Κάθε άσκηση διορθώνεται μόλις απαντήσεις και δείχνει πώς βγαίνει η σωστή απάντηση. Οι ασκήσεις φτιάχνονται για αυτή την ενότητα κάθε φορά από την αρχή. Δεν είναι οι λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.

Συχνές απορίες

Πώς βρίσκω το κέντρο;

Από τη x² + y² + Δx + Εy + Ζ = 0, το κέντρο είναι (−Δ/2, −Ε/2).

Πώς βρίσκω την ακτίνα;

Με συμπλήρωση τετραγώνων, ρ² = (Δ/2)² + (Ε/2)² − Ζ.

Πότε δεν είναι κύκλος;

Όταν το ρ² βγει αρνητικό, οπότε καμία καμπύλη δεν υπάρχει.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Είσαι εκπαιδευτικός; Ανάρτησέ το στο Google Classroom ↗

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα