Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Υπερβολή με εστίες Ε′, Ε είναι ο τόπος των σημείων με |(ΜΕ′) − (ΜΕ)| = 2α, όπου 2α < (Ε′Ε) = 2γ.
2. Με εστίες Ε′(−γ, 0), Ε(γ, 0): x²/α² − y²/β² = 1 με β² = γ² − α². Με εστίες στον y′y: y²/α² − x²/β² = 1. Αν α = β η υπερβολή είναι ισοσκελής: x² − y² = α².
3. Οι άξονες είναι άξονες συμμετρίας, η αρχή κέντρο συμμετρίας. Κορυφές Α′(−α, 0), Α(α, 0)· η υπερβολή δεν τέμνει τον y′y.
4. Τα σημεία της βρίσκονται έξω από την ταινία −α < x < α, άρα έχει δύο χωριστούς κλάδους.
5. Ασύμπτωτες: y = ±(β/α)x. Ο κλάδος πλησιάζει όλο και περισσότερο την ασύμπτωτο χωρίς να τη συναντά· είναι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου βάσης με κορυφές (±α, ±β).
6. Εκκεντρότητα ε = γ/α > 1 και β/α = √(ε² − 1)· όσο το ε πλησιάζει το 1, τόσο πιο κλειστή γίνεται η υπερβολή. Στην ισοσκελή ε = √2.
7. Εφαπτομένη στο Μ₁(x₁, y₁): xx₁/α² − yy₁/β² = 1 (για εστίες στον y′y: yy₁/α² − xx₁/β² = 1).
8. Ανακλαστική ιδιότητα: η εφαπτομένη διχοτομεί τη γωνία Ε′ΜΕ· χρησιμοποιείται σε ανακλαστικά τηλεσκόπια και στη ναυσιπλοΐα για το στίγμα των πλοίων.

Όροι

υπερβολή

σταθερή |διαφορά| αποστάσεων από εστίες

σταθερή διαφορά υπερβολής

|(ΜΕ′) − (ΜΕ)| = 2α

εξίσωση υπερβολής (εστίες στον x′x)

x²/α² − y²/β² = 1

β² στην υπερβολή

γ² − α²

εξίσωση υπερβολής (εστίες στον y′y)

y²/α² − x²/β² = 1

ισοσκελής υπερβολή

x² − y² = α² (α = β)

κορυφές υπερβολής

Α′(−α, 0) και Α(α, 0)

κλάδοι υπερβολής

δύο, έξω από την ταινία −α < x < α

ασύμπτωτες της x²/α² − y²/β² = 1

y = (β/α)x και y = −(β/α)x

ασύμπτωτος

ο κλάδος την πλησιάζει χωρίς να τη φτάνει

ορθογώνιο βάσης

κορυφές (±α, ±β)

εκκεντρότητα υπερβολής

ε = γ/α, με ε > 1

β/α με την εκκεντρότητα

√(ε² − 1)

εκκεντρότητα ισοσκελούς

ε = √2

εφαπτομένη υπερβολής στο Μ₁

xx₁/α² − yy₁/β² = 1

ανακλαστική ιδιότητα υπερβολής

η εφαπτομένη διχοτομεί τη Ε′ΜΕ

x²/α² − y²/β² = 1 και y′y

δεν έχουν κοινό σημείο