Η ΕΛΛΕΙΨΗ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Έλλειψη με εστίες Ε′, Ε είναι ο τόπος των σημείων Μ με (ΜΕ′) + (ΜΕ) = 2α, όπου 2α > (Ε′Ε) = 2γ· η (Ε′Ε) λέγεται εστιακή απόσταση. Αν γ = 0, η έλλειψη είναι κύκλος.
2. Πρακτικά τη σχεδιάζουμε με ένα σχοινί μήκους 2α δεμένο στις δύο εστίες, κρατώντας το τεντωμένο με μολύβι.
3. Με εστίες Ε′(−γ, 0), Ε(γ, 0): x²/α² + y²/β² = 1 με β² = α² − γ². Με εστίες στον y′y: x²/β² + y²/α² = 1.
4. Οι άξονες είναι άξονες συμμετρίας και η αρχή Ο κέντρο συμμετρίας. Κορυφές Α′(−α, 0), Α(α, 0), Β′(0, −β), Β(0, β)· μεγάλος άξονας 2α, μικρός 2β· κάθε διάμετρος είναι ανάμεσα στο 2β και στο 2α.
5. Η έλλειψη βρίσκεται μέσα στο ορθογώνιο με πλευρές τις ευθείες x = ±α και y = ±β.
6. Εκκεντρότητα ε = γ/α < 1 και β/α = √(1 − ε²)· ελλείψεις με ίδια εκκεντρότητα λέγονται όμοιες. Οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις με τον Ήλιο σε μία εστία.
7. Παραμετρικές εξισώσεις: x = α·συνφ, y = β·ημφ, με φ στο [0, 2π).
8. Εφαπτομένη στο Μ₁(x₁, y₁): xx₁/α² + yy₁/β² = 1. Ανακλαστική ιδιότητα: η κάθετη στην εφαπτομένη διχοτομεί τη γωνία Ε′ΜΕ, άρα ήχος ή φως από τη μία εστία ανακλάται προς την άλλη (στοές με ειδική ακουστική).

Όροι

έλλειψη

σταθερό άθροισμα αποστάσεων από εστίες

σταθερό άθροισμα έλλειψης

(ΜΕ′) + (ΜΕ) = 2α

εστιακή απόσταση

(Ε′Ε) = 2γ

εξίσωση έλλειψης (εστίες στον x′x)

x²/α² + y²/β² = 1

β² στην έλλειψη

α² − γ²

εξίσωση έλλειψης (εστίες στον y′y)

x²/β² + y²/α² = 1

κέντρο έλλειψης

το μέσο Ο του Ε′Ε

κορυφές στον x′x

Α′(−α, 0) και Α(α, 0)

μεγάλος άξονας Α′Α

μήκος 2α

μικρός άξονας Β′Β

μήκος 2β

διάμετρος έλλειψης

χορδή συμμετρικών ως προς Ο σημείων

εκκεντρότητα έλλειψης

ε = γ/α, με 0 < ε < 1

β/α με την εκκεντρότητα

√(1 − ε²)

ε κοντά στο 0

η έλλειψη μοιάζει με κύκλο

όμοιες ελλείψεις

ίδια εκκεντρότητα

παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης

x = ασυνφ, y = βημφ

εφαπτομένη έλλειψης στο Μ₁

xx₁/α² + yy₁/β² = 1

ανακλαστική ιδιότητα έλλειψης

από τη μία εστία ανακλάται στην άλλη

τροχιές πλανητών

ελλείψεις με τον Ήλιο σε εστία