Κωνικές Τομές

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η εισαγωγή δείχνει ότι οι αρχαίοι Έλληνες έφτασαν στις κωνικές τομές μέσα από το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου (x³ = 2α³), που λύνεται με την τομή δύο παραβολών ή παραβολής και υπερβολής.
2. Ο Απολλώνιος όρισε έλλειψη, παραβολή και υπερβολή ως τομές του ίδιου κώνου και τους έδωσε τα ονόματα, ανάλογα με το αν μια πλευρά «ελλείπει», «παραβάλλεται» ή «υπερβάλλει» σε σχέση με την παράμετρο.
3. Κύκλος με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ: x² + y² = ρ²· με ρ = 1 έχουμε τον μοναδιαίο κύκλο.
4. Παραμετρικές εξισώσεις: x = ρ·συνφ, y = ρ·ημφ, όπου φ η γωνία του ΟΜ⃗ με τον x′x.
5. Εφαπτομένη του x² + y² = ρ² στο Α(x₁, y₁): xx₁ + yy₁ = ρ², γιατί η ακτίνα στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη.
6. Κύκλος με κέντρο Κ(x₀, y₀) και ακτίνα ρ: (x − x₀)² + (y − y₀)² = ρ²· αν κάνουμε τις πράξεις παίρνει τη μορφή x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0.
7. Αντίστροφα, η x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0 είναι κύκλος όταν Α² + Β² − 4Γ > 0, ένα σημείο όταν είναι 0, και αδύνατη όταν είναι αρνητική.
8. Μια ευθεία εφάπτεται σε κύκλο όταν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία ισούται με την ακτίνα.

Πρόσωπα

Ιπποκράτης ο Χίος

ανήγαγε τον διπλασιασμό του κύβου σε δύο μέσες αναλόγους

Μέναιχμος

πιθανότατα ανακάλυψε τις κωνικές τομές, γύρω στο 350 π.Χ.

Ερατοσθένης

επίγραμμά του συνδέει τις κωνικές τομές με τον Μέναιχμο

Αρχιμήδης

μελέτησε τις κωνικές τομές με τα παλαιότερα ονόματά τους

Απολλώνιος ο Περγαίος

τα «Κωνικά»· έδωσε τα ονόματα παραβολή, έλλειψη, υπερβολή

Πάππος

μαρτυρεί για το χαμένο 8ο βιβλίο των «Κωνικών»

Όροι

διπλασιασμός του κύβου

κατασκευή x με x³ = 2α³

οξυγωνίου κώνου τομή

το παλιό όνομα της έλλειψης

ορθογωνίου κώνου τομή

το παλιό όνομα της παραβολής

αμβλυγωνίου κώνου τομή

το παλιό όνομα της υπερβολής

κύκλος με κέντρο Ο, ακτίνα ρ

x² + y² = ρ²

μοναδιαίος κύκλος

x² + y² = 1

παραμετρικές εξισώσεις κύκλου

x = ρσυνφ, y = ρημφ

εφαπτομένη του x² + y² = ρ² στο Α

xx₁ + yy₁ = ρ²

κύκλος με κέντρο Κ(x₀, y₀)

(x − x₀)² + (y − y₀)² = ρ²

γενική εξίσωση κύκλου

x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0

συνθήκη για κύκλο

Α² + Β² − 4Γ > 0

κέντρο του x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0

(−Α/2, −Β/2)

ακτίνα του x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0

√(Α² + Β² − 4Γ) / 2

Α² + Β² − 4Γ = 0

η εξίσωση δίνει ένα μόνο σημείο

Α² + Β² − 4Γ < 0

η εξίσωση είναι αδύνατη

ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο

απόσταση κέντρου = ακτίνα