Η Ευθεία στο Επίπεδο

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η εισαγωγή αφηγείται πώς οι συντεταγμένες πέρασαν από τη Γεωγραφία και τις κωνικές τομές του Απολλώνιου στην Αναλυτική Γεωμετρία των Descartes και Fermat (γύρω στο 1630).
2. Εξίσωση μιας γραμμής C λέγεται η εξίσωση με αγνώστους x, y που επαληθεύεται από τα σημεία της C και από κανένα άλλο σημείο· π.χ. η y = x² είναι εξίσωση παραβολής.
3. Γωνία ω μιας ευθείας με τον x′x: 0 ≤ ω < π. Συντελεστής διεύθυνσης λ = εφω· δεν ορίζεται όταν η ευθεία είναι κάθετη στον x′x.
4. Μια ευθεία και ένα διάνυσμα παράλληλα μεταξύ τους έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης· από δύο σημεία με x₁ ≠ x₂ βρίσκουμε λ = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
5. Συνθήκες: ε₁ // ε₂ ⇔ λ₁ = λ₂ και ε₁ ⊥ ε₂ ⇔ λ₁·λ₂ = −1.
6. Ευθεία από σημείο Α(x₀, y₀) με συντελεστή λ: y − y₀ = λ(x − x₀). Από δύο σημεία: y − y₁ = ((y₂ − y₁)/(x₂ − x₁))(x − x₁). Κατακόρυφη ευθεία: x = x₀.
7. Ειδικές περιπτώσεις: y = λx + β (τέμνει τον y′y στο (0, β)), y = λx (από την αρχή), y = y₀ (οριζόντια). Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων είναι y = x και y = −x.
8. Εφαρμογές: εξισώσεις ύψους, διαμέσου και μεσοκαθέτου τριγώνου και συμμετρικό σημείου ως προς ευθεία.

Πρόσωπα

Απολλώνιος

στα «Κωνικά» χρησιμοποιεί δύο ευθείες του σχήματος σαν σύστημα αναφοράς

R. Descartes

μαζί με τον Fermat ανάγει γεωμετρικά προβλήματα σε αλγεβρικά (περίπου 1630)· «La Géométrie», 1637

P. Fermat

μαζί με τον Descartes θεμελιωτής της Αναλυτικής Γεωμετρίας

J. Wallis

ορίζει τις κωνικές τομές και με εξισώσεις 2ου βαθμού (1655)

I. Newton

χρησιμοποιεί δύο άξονες και αρνητικές συντεταγμένες· εμφανίζεται ο όρος «Αναλυτική Γεωμετρία»

L. Euler

πλήρες εγχειρίδιο Αναλυτικής Γεωμετρίας (1748)

Όροι

εξίσωση γραμμής C

την επαληθεύουν μόνο τα σημεία της C

γωνία ω ευθείας με x′x

0 ≤ ω < π

συντελεστής διεύθυνσης ευθείας

λ = εφω

λ > 0

η γωνία ω είναι οξεία

λ < 0

η γωνία ω είναι αμβλεία

κατακόρυφη ευθεία

δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης

λ από σημεία Α, Β

(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

παράλληλες ευθείες

λ₁ = λ₂

κάθετες ευθείες

λ₁·λ₂ = −1

ευθεία από Α(x₀, y₀) με κλίση λ

y − y₀ = λ(x − x₀)

κατακόρυφη από Α(x₀, y₀)

x = x₀

οριζόντια από Α(x₀, y₀)

y = y₀

ευθεία που τέμνει y′y στο (0, β)

y = λx + β

ευθεία από την αρχή Ο

y = λx

διχοτόμος 1ης και 3ης γωνίας

y = x

διχοτόμος 2ης και 4ης γωνίας

y = −x

Αναλυτική Γεωμετρία

μελετά γραμμές μέσω εξισώσεων