ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Μια μη κατακόρυφη ευθεία y = λx + β γράφεται λx − y + β = 0, και μια κατακόρυφη x = x₀ γράφεται x − x₀ = 0: και οι δύο έχουν τη μορφή Αx + Βy + Γ = 0.
2. Αντίστροφα, αν Β ≠ 0 η εξίσωση γράφεται y = −(Α/Β)x − Γ/Β, ευθεία με λ = −Α/Β που τέμνει τον y′y στο (0, −Γ/Β)· αν Β = 0 τότε Α ≠ 0 και έχουμε την κατακόρυφη x = −Γ/Α.
3. Θεώρημα: κάθε ευθεία έχει εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0, και κάθε τέτοια εξίσωση παριστάνει ευθεία.
4. Η ευθεία Αx + Βy + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ⃗ = (Β, −Α) και κάθετη στο n⃗ = (Α, Β).
5. Εξίσωση με παράμετρο λ μπορεί να ορίζει οικογένεια ευθειών· αν όλες περνούν από ένα σημείο, το βρίσκουμε μηδενίζοντας τις παραστάσεις που πολλαπλασιάζονται με το λ και με τους σταθερούς όρους.
6. Σημείο που κινείται με παράμετρο (π.χ. κέντρο βάρους) βρίσκεται πάνω σε ευθεία αν απαλείψουμε την παράμετρο από τις συντεταγμένες του.
7. Η οξεία γωνία δύο ευθειών βρίσκεται από τη γωνία παράλληλων διανυσμάτων τους με το εσωτερικό γινόμενο.

Όροι

γενική εξίσωση ευθείας

Αx + Βy + Γ = 0, Α ≠ 0 ή Β ≠ 0

λ της Αx + Βy + Γ = 0 (Β ≠ 0)

λ = −Α/Β

τομή με y′y (Β ≠ 0)

το σημείο (0, −Γ/Β)

Αx + Βy + Γ = 0 με Β = 0

κατακόρυφη ευθεία x = −Γ/Α

Αx + Βy + Γ = 0 με Α = 0

οριζόντια ευθεία y = −Γ/Β

y = λx + β σε γενική μορφή

λx − y + β = 0

διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία

δ⃗ = (Β, −Α)

διάνυσμα κάθετο στην ευθεία

n⃗ = (Α, Β)

δ⃗·n⃗

ΑΒ − ΒΑ = 0, άρα κάθετα

οικογένεια ευθειών

ευθείες που ορίζει μια παράμετρος

κοινό σημείο οικογένειας

επαληθεύει την εξίσωση για κάθε λ

γεωμετρικός τόπος σε ευθεία

απαλείφουμε την παράμετρο

γωνία δύο ευθειών

από γωνία παράλληλων διανυσμάτων

Γ = 0 στην Αx + Βy + Γ = 0

η ευθεία περνά από την αρχή Ο