ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Κίνητρο από τη Φυσική: το έργο δύναμης που μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της είναι γινόμενο μέτρων επί συνημίτονο γωνίας.
2. Ορισμός: α⃗·β⃗ = |α⃗|·|β⃗|·συνφ για μη μηδενικά διανύσματα· αν κάποιο είναι μηδενικό, α⃗·β⃗ = 0.
3. Συνέπειες: α⃗·β⃗ = β⃗·α⃗, κάθετα ⇔ γινόμενο 0, ομόρροπα δίνουν |α⃗|·|β⃗|, αντίρροπα −|α⃗|·|β⃗|, και α⃗² = |α⃗|². Για τα i⃗, j⃗: i⃗·j⃗ = 0 και i⃗² = j⃗² = 1.
4. Αναλυτική έκφραση: α⃗·β⃗ = x₁x₂ + y₁y₂, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες και προσθέτουμε (προκύπτει από τον νόμο των συνημιτόνων).
5. Ιδιότητες: (λα⃗)·β⃗ = λ(α⃗·β⃗), α⃗·(β⃗ + γ⃗) = α⃗·β⃗ + α⃗·γ⃗, και για κάθετα διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης λ₁·λ₂ = −1.
6. Συνημίτονο γωνίας: συνθ = α⃗·β⃗ / (|α⃗|·|β⃗|), που με συντεταγμένες δίνει τη γωνία δύο διανυσμάτων.
7. Ανισότητα: |α⃗·β⃗| ≤ |α⃗|·|β⃗|, με ισότητα μόνο όταν τα διανύσματα είναι παράλληλα. Με το εσωτερικό γινόμενο αποδεικνύεται και ο τύπος του συν(α − β).
8. Προβολή του β⃗ στο α⃗ είναι το διάνυσμα που ορίζει το ίχνος της καθέτου από το πέρας του β⃗ στη διεύθυνση του α⃗· ισχύει α⃗·β⃗ = α⃗·προβ_α⃗ β⃗.

Όροι

εσωτερικό γινόμενο α⃗·β⃗

|α⃗|·|β⃗|·συνφ

α⃗·β⃗ αν α⃗ = 0⃗

ισούται με 0

αντιμεταθετική εσωτερικού

α⃗·β⃗ = β⃗·α⃗

α⃗ ⊥ β⃗

α⃗·β⃗ = 0

α⃗·β⃗ για ομόρροπα

|α⃗|·|β⃗|

α⃗·β⃗ για αντίρροπα

−|α⃗|·|β⃗|

α⃗² (τετράγωνο διανύσματος)

|α⃗|²

i⃗·j⃗

0, γιατί i⃗ ⊥ j⃗

i⃗² και j⃗²

και τα δύο ίσα με 1

αναλυτική έκφραση α⃗·β⃗

x₁x₂ + y₁y₂

επιμεριστική εσωτερικού

α⃗·(β⃗ + γ⃗) = α⃗·β⃗ + α⃗·γ⃗

κάθετα με συντελεστές λ₁, λ₂

λ₁·λ₂ = −1

συνθ γωνίας α⃗, β⃗

α⃗·β⃗ / (|α⃗|·|β⃗|)

ανισότητα εσωτερικού

|α⃗·β⃗| ≤ |α⃗|·|β⃗|

προβολή του β⃗ στο α⃗

προβ_α⃗ β⃗, παράλληλη στο α⃗

α⃗·β⃗ με προβολή

α⃗·προβ_α⃗ β⃗

έργο δύναμης F⃗ σε μετατόπιση

το εσωτερικό γινόμενο F⃗·ΟΑ⃗