ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Άξονας x′x: ευθεία με αρχή Ο και μοναδιαίο διάνυσμα· κάθε σημείο του αντιστοιχεί σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό, την τετμημένη του.
2. Δύο κάθετοι άξονες με κοινή αρχή και ισομήκη μοναδιαία διανύσματα i⃗, j⃗ σχηματίζουν ορθοκανονικό σύστημα Oxy. Κάθε σημείο έχει ένα ζεύγος (x, y): τετμημένη και τεταγμένη.
3. Κάθε διάνυσμα γράφεται με μοναδικό τρόπο ως α⃗ = x·i⃗ + y·j⃗· τα x, y είναι οι συντεταγμένες του και γράφουμε α⃗ = (x, y). Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν ίσες συντεταγμένες.
4. Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού: προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε κατά συντεταγμένη, π.χ. λα⃗ + μβ⃗ = (λx₁ + μx₂, λy₁ + μy₂).
5. Μέσο τμήματος ΑΒ: x = (x₁ + x₂)/2, y = (y₁ + y₂)/2. Διάνυσμα με γνωστά άκρα: ΑΒ⃗ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁).
6. Μέτρο: |α⃗| = √(x² + y²). Απόσταση σημείων: (ΑΒ) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Κέντρο βάρους τριγώνου: ο μέσος όρος των τριών κορυφών.
7. Συνθήκη παραλληλίας: α⃗ // β⃗ ⇔ det(α⃗, β⃗) = x₁y₂ − x₂y₁ = 0. Τρία σημεία είναι συνευθειακά όταν δύο από τα διανύσματα που ορίζουν είναι παράλληλα.
8. Συντελεστής διεύθυνσης: λ = y/x = εφφ, όπου φ η γωνία του διανύσματος με τον x′x· δεν ορίζεται όταν x = 0. Δύο διανύσματα με συντελεστές λ₁, λ₂ είναι παράλληλα ⇔ λ₁ = λ₂.

Όροι

τετμημένη σημείου

η πρώτη συντεταγμένη x

τεταγμένη σημείου

η δεύτερη συντεταγμένη y

ορθοκανονικό σύστημα Oxy

κάθετοι άξονες, ισομήκη i⃗ και j⃗

α⃗ με μοναδιαία διανύσματα

α⃗ = x·i⃗ + y·j⃗

συνιστώσες του α⃗

τα διανύσματα x·i⃗ και y·j⃗

ίσα διανύσματα (συντεταγμένες)

ίσες αντίστοιχες συντεταγμένες

α⃗ + β⃗ με συντεταγμένες

(x₁ + x₂, y₁ + y₂)

μέσο Μ του ΑΒ

((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

συντεταγμένες του ΑΒ⃗

(x₂ − x₁, y₂ − y₁)

μέτρο του α⃗ = (x, y)

√(x² + y²)

απόσταση (ΑΒ)

√((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

κέντρο βάρους τριγώνου

((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)

det(α⃗, β⃗)

x₁y₂ − x₂y₁

α⃗ // β⃗ (ορίζουσα)

det(α⃗, β⃗) = 0

συντελεστής διεύθυνσης λ

λ = y/x = εφφ

διάνυσμα με x = 0

δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης

διάνυσμα με y = 0

συντελεστής διεύθυνσης λ = 0

παράλληλα με λ₁, λ₂

λ₁ = λ₂