ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Για λ ≠ 0 και α⃗ ≠ 0⃗, το λ·α⃗ είναι ομόρροπο του α⃗ όταν λ > 0, αντίρροπο όταν λ < 0, με μέτρο |λ|·|α⃗|· αν λ = 0 ή α⃗ = 0⃗ είναι το 0⃗.
2. Ιδιότητες: λ(α⃗ + β⃗) = λα⃗ + λβ⃗, (λ + μ)α⃗ = λα⃗ + μα⃗, λ(μα⃗) = (λμ)α⃗. Η πρώτη αποδεικνύεται με όμοια τρίγωνα.
3. Συνέπειες: λα⃗ = 0⃗ μόνο αν λ = 0 ή α⃗ = 0⃗· από λα⃗ = λβ⃗ με λ ≠ 0 έπεται α⃗ = β⃗· από λα⃗ = μα⃗ με α⃗ ≠ 0⃗ έπεται λ = μ.
4. Γραμμικός συνδυασμός των α⃗, β⃗ λέγεται κάθε διάνυσμα κα⃗ + λβ⃗ με κ, λ πραγματικούς· ανάλογα για τρία ή περισσότερα διανύσματα.
5. Συνθήκη παραλληλίας: αν β⃗ ≠ 0⃗, τότε α⃗ // β⃗ αν και μόνο αν α⃗ = λβ⃗ για κάποιο (μοναδικό) λ. Έτσι αποδεικνύουμε παραλληλία ευθειών και συνευθειακά σημεία.
6. Ως εφαρμογή ξαναβρίσκουμε ότι το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο στην τρίτη και ίσο με το μισό της.
7. Διανυσματική ακτίνα μέσου: ΟΜ⃗ = ½(ΟΑ⃗ + ΟΒ⃗). Για το βαρύκεντρο G τριγώνου ΑΒΓ ισχύει GΑ⃗ + GΒ⃗ + GΓ⃗ = 0⃗.

Όροι

λα⃗ με λ > 0

ομόρροπο του α⃗

λα⃗ με λ < 0

αντίρροπο του α⃗

μέτρο του λα⃗

|λ|·|α⃗|

0·α⃗

το μηδενικό διάνυσμα 0⃗

επιμεριστική ως προς διανύσματα

λ(α⃗ + β⃗) = λα⃗ + λβ⃗

επιμεριστική ως προς αριθμούς

(λ + μ)α⃗ = λα⃗ + μα⃗

λ(μα⃗)

(λμ)α⃗

λα⃗ = 0⃗

λ = 0 ή α⃗ = 0⃗

γραμμικός συνδυασμός α⃗, β⃗

κάθε διάνυσμα κα⃗ + λβ⃗

α⃗ // β⃗ με β⃗ ≠ 0⃗

α⃗ = λβ⃗ για μοναδικό λ

διανυσματική ακτίνα μέσου Μ

½(ΟΑ⃗ + ΟΒ⃗)

βαρύκεντρο G τριγώνου ΑΒΓ

GΑ⃗ + GΒ⃗ + GΓ⃗ = 0⃗

ΟG⃗ για βαρύκεντρο

⅓(ΟΑ⃗ + ΟΒ⃗ + ΟΓ⃗)

τμήμα μέσων πλευρών τριγώνου

παράλληλο και ίσο με μισή τρίτη πλευρά