Μετρικές Σχέσεις

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. §9.1: Ορθή προβολή σημείου σε ευθεία είναι το ίχνος της καθέτου από το σημείο. Η προβολή ενός τμήματος έχει άκρα τις προβολές των άκρων του.
2. §9.2: Στο ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς ισούται με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς, το ύψος προς την υποτείνουσα στο τετράγωνο ισούται με το γινόμενο των δύο προβολών, και ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα α² = β² + γ² μαζί με το αντίστροφό του.
3. §9.3: Με τα θεωρήματα αυτά κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη τα τμήματα √(α² + β²), √(α² − β²), η μέση ανάλογος √(αβ) και τα √2·α, √3·α, √5·α κ.λπ.
4. Ιστορικό σημείωμα: οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι υπάρχουν ασύμμετρα μεγέθη, όπως η διαγώνιος και η πλευρά τετραγώνου. Ο Θεόδωρος και ο Θεαίτητος βρήκαν και άλλους άρρητους.
5. §9.4: Απέναντι από οξεία γωνία ισχύει α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ και απέναντι από αμβλεία α² = β² + γ² + 2β·ΑΔ, με ΑΔ την προβολή της γ στη β. Έτσι βρίσκουμε το είδος ενός τριγώνου και παίρνουμε τον νόμο των συνημιτόνων.
6. §9.5: Θεωρήματα διαμέσων: β² + γ² = 2μα² + α²/2 και β² − γ² = 2α·ΜΔ, όπου ΜΔ η προβολή της διαμέσου στη ΒΓ.
7. §9.6: Γεωμετρικοί τόποι: τα σημεία με ΜΑ² + ΜΒ² σταθερό βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το μέσο του ΑΒ, ενώ τα σημεία με ΜΑ² − ΜΒ² σταθερό σε ευθεία κάθετη στο ΑΒ.
8. §9.7: Θεώρημα τεμνουσών ΡΑ·ΡΒ = ΡΓ·ΡΔ, εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ² = ΡΑ·ΡΒ, δύναμη σημείου ΟΡ² − R² και διαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο (χρυσή τομή, φ = (√5 + 1)/2), με ιστορικό σημείωμα ως την ακολουθία Φιμπονάτσι.

Πρόσωπα

Πυθαγόρας

το θεώρημα του ορθογώνιου τριγώνου φέρει το όνομά του

Αριστοτέλης

πρώτη γραπτή μαρτυρία για απόδειξη ασυμμετρίας

Θεόδωρος ο Κυρηναίος

βρήκε νέα ασύμμετρα τμήματα

Θεαίτητος

√Ν άρρητος όταν ο Ν δεν είναι τέλειο τετράγωνο

Ευκλείδης

μέσος και άκρος λόγος στα «Στοιχεία»

Λεονάρδος της Πίζας (Φιμπονάτσι)

η ακολουθία 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Φειδίας

γλύπτης, από το όνομά του το σύμβολο φ

Όροι

ορθή προβολή σημείου σε ευθεία

το ίχνος της καθέτου από το σημείο

κάθετη πλευρά² σε ορθογώνιο τρίγωνο

υποτείνουσα επί την προβολή της

Πυθαγόρειο θεώρημα

α² = β² + γ² όταν Α = 90°

αντίστροφο του Πυθαγορείου

αν α² = β² + γ², τότε Α = 90°

ύψος² προς την υποτείνουσα

το γινόμενο των δύο προβολών

υποτείνουσα ορθογώνιου ισοσκελούς

α = β√2

μέση ανάλογος x των α, β

x = √(αβ)

α² > β² + γ²

η γωνία Α είναι αμβλεία

α² < β² + γ²

η γωνία Α είναι οξεία

α² απέναντι από οξεία γωνία Α

β² + γ² − 2β·ΑΔ

α² απέναντι από αμβλεία γωνία Α

β² + γ² + 2β·ΑΔ

νόμος των συνημιτόνων

α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ

ύψος υα από τις τρεις πλευρές

(2/α)·√(τ(τ − α)(τ − β)(τ − γ))

1ο θεώρημα διαμέσων

β² + γ² = 2μα² + α²/2

2ο θεώρημα διαμέσων

β² − γ² = 2α·ΜΔ

μα² (διάμεσος από το Α)

(2β² + 2γ² − α²)/4

θεώρημα τεμνουσών

ΡΑ·ΡΒ = ΡΓ·ΡΔ

εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ από σημείο Ρ

ΡΕ² = ΡΑ·ΡΒ

δύναμη του Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R)

ΟΡ² − R²

λόγος της χρυσής τομής φ

(√5 + 1)/2