Εμβαδά

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. §10.1: Πολυγωνικό χωρίο είναι ένα πολύγωνο μαζί με το εσωτερικό του. Πολλά χωρία χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία σχηματίζουν πολυγωνική επιφάνεια.
2. §10.2: Εμβαδόν είναι ο θετικός αριθμός που προκύπτει όταν συγκρίνουμε το χωρίο με μια μονάδα. Δεχόμαστε ότι ίσα χωρία έχουν ίσα εμβαδά, ότι τα εμβαδά των μερών προστίθενται και ότι το τετράγωνο πλευράς 1 έχει εμβαδόν 1, οπότε το τετράγωνο πλευράς α έχει α².
3. §10.3: Ορθογώνιο α·β, παραλληλόγραμμο βάση επί ύψος, τρίγωνο ½·α·υα, τραπέζιο (Β + β)/2·υ ή διάμεσος επί ύψος. Ειδικές περιπτώσεις: ισόπλευρο α²√3/4, ρόμβος ½·δ₁·δ₂, και η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα.
4. §10.4: Άλλοι τύποι για το τρίγωνο: Ήρωνα, Ε = τ·ρ, Ε = αβγ/(4R) και Ε = ½·βγ·ημΑ. Από τους δύο τελευταίους βγαίνει ο νόμος των ημιτόνων.
5. §10.5: Τρίγωνα με ίσες βάσεις έχουν λόγο εμβαδών ίσο με τον λόγο των υψών, και με ίσα ύψη ίσο με τον λόγο των βάσεων. Όμοια τρίγωνα και πολύγωνα έχουν λόγο εμβαδών λ². Αν δύο τρίγωνα έχουν μία γωνία ίση ή παραπληρωματική, ο λόγος των εμβαδών είναι ο λόγος των γινομένων των πλευρών της γωνίας.
6. §10.6: Κάθε πολύγωνο μετασχηματίζεται σε ισοδύναμο με μία πλευρά λιγότερη, άρα τελικά σε τρίγωνο, και κάθε τρίγωνο σε ισοδύναμο τετράγωνο. Η κατασκευή αυτή λέγεται τετραγωνισμός.
7. Ιστορικό σημείωμα: η απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη (Βιβλίο I, Πρόταση 47) γίνεται με σύγκριση εμβαδών.

Πρόσωπα

Ήρων

τύπος εμβαδού τριγώνου από τις τρεις πλευρές

Ευκλείδης

αποδεικνύει το Πυθαγόρειο με εμβαδά στα «Στοιχεία»

Πυθαγόρας

το θεώρημα που αποδεικνύεται με εμβαδά φέρει το όνομά του

Όροι

πολυγωνικό χωρίο

πολύγωνο μαζί με το εσωτερικό του

πολυγωνική επιφάνεια

χωρία χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία

ισοδύναμα ή ισεμβαδικά σχήματα

έχουν το ίδιο εμβαδόν

εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α

α²

εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές α, β

α·β

εμβαδόν παραλληλογράμμου

πλευρά επί το αντίστοιχο ύψος

εμβαδόν τριγώνου

½·α·υα

εμβαδόν τραπεζίου

(Β + β)/2 · υ

εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου

α²√3/4

εμβαδόν ρόμβου

½·δ₁·δ₂

τύπος του Ήρωνα

Ε = √(τ(τ − α)(τ − β)(τ − γ))

εμβαδόν τριγώνου με την ακτίνα ρ

Ε = τ·ρ

εμβαδόν τριγώνου με την ακτίνα R

Ε = αβγ/(4R)

τριγωνομετρικός τύπος εμβαδού

Ε = ½·βγ·ημΑ

νόμος των ημιτόνων

α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ = 2R

λόγος εμβαδών όμοιων τριγώνων

λ², το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας

τρίγωνα με ίσα ύψη

λόγος εμβαδών = λόγος βάσεων

τρίγωνα με Α = Α' ή Α + Α' = 180°

Ε/Ε' = βγ/(β'γ')

διάμεσος τριγώνου

χωρίζει σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα

τετραγωνισμός πολυγώνου

κατασκευή ισοδύναμου τετραγώνου