Μέτρηση κύκλου

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. §11.1: Κανονικό λέγεται το πολύγωνο με όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες ίσες. Η γωνία του είναι φν = 180° − 360°/ν, και δύο κανονικά ν-γωνα (ίδιο ν) είναι πάντα όμοια.
2. §11.2: Κάθε κανονικό πολύγωνο έχει περιγεγραμμένο και εγγεγραμμένο κύκλο με κοινό κέντρο. Ορίζονται ακτίνα R, απόστημα αν, κεντρική γωνία ων = 360°/ν, και ισχύουν αν² + λν²/4 = R², Pν = ν·λν, Εν = ½·Pν·αν.
3. Σχόλιο της §11.2: δεν κατασκευάζεται κάθε κανονικό πολύγωνο με κανόνα και διαβήτη (π.χ. το 7-γωνο)· ο Gauss έδειξε το 1796 ποια κατασκευάζονται, ξεκινώντας από το 17-γωνο.
4. §11.3: Εγγραφή σε κύκλο: τετράγωνο λ₄ = R√2, εξάγωνο λ₆ = R, ισόπλευρο τρίγωνο λ₃ = R√3, με τα αποστήματά τους. Δεκάγωνο μέσω της χρυσής τομής, οκτάγωνο και ο τύπος του Αρχιμήδη για το 2ν-γωνο.
5. §11.4: Μήκος κύκλου είναι ο αριθμός που πλησιάζουν από κάτω και από πάνω οι περίμετροι κανονικών πολυγώνων μέσα και γύρω από τον κύκλο, όταν διπλασιάζονται οι πλευρές. Ο λόγος του προς τη διάμετρο είναι ο π, άρα L = 2πR.
6. §11.5: Μήκος τόξου μ° είναι πRμ/180. Ακτίνιο είναι το τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα, οπότε τόξο α rad έχει μήκος αR και ισχύει α/π = μ/180.
7. §11.6 και 11.7: Εμβαδόν κύκλου πR², κυκλικού τομέα μ° πR²μ/360, και κυκλικό τμήμα ως τομέας μείον το τρίγωνο ΟΑΒ. Εφαρμογή: οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη έχουν μαζί εμβαδόν ίσο με το ορθογώνιο τρίγωνο.
8. §11.8: Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατος, γιατί ο π είναι υπερβατικός. Ιστορικό σημείωμα για τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας: διπλασιασμός του κύβου, τριχοτόμηση γωνίας, τετραγωνισμός του κύκλου.

Πρόσωπα

Ιπποκράτης ο Χίος

τετραγώνισε πρώτος μηνίσκους

Αρχιμήδης

προσέγγιση π ≈ 22/7 και «Κύκλου μέτρηση»

Ευκλείδης

κατασκευές κανονικών πολυγώνων στα «Στοιχεία»

Gauss

ποια κανονικά πολύγωνα κατασκευάζονται, 17-γωνο

Lindemann

απέδειξε το 1882 ότι ο π είναι υπερβατικός

Π. Βάντσελ

1837: διπλασιασμός κύβου και τριχοτόμηση αδύνατα

Όροι

κανονικό πολύγωνο

όλες οι πλευρές και οι γωνίες ίσες

γωνία κανονικού ν-γώνου φν

180° − 360°/ν

κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου

ων = 360°/ν

απόστημα κανονικού πολυγώνου

απόσταση του κέντρου από μια πλευρά

σχέση απόστημα, πλευρά, ακτίνα

αν² + λν²/4 = R²

εμβαδόν κανονικού ν-γώνου

½·Pν·αν

πλευρά εγγεγραμμένου τετραγώνου λ₄

R√2

πλευρά εγγεγραμμένου εξαγώνου λ₆

R

πλευρά εγγεγραμμένου ισόπλευρου λ₃

R√3

τύπος του Αρχιμήδη (2ν-γωνο)

λ₂ν² = 2R(R − αν)

μήκος κύκλου ακτίνας R

L = 2πR

ο αριθμός π

L/2R, άρρητος και υπερβατικός

μήκος τόξου μ°

l = πRμ/180

ακτίνιο (rad)

τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα

μήκος τόξου α rad

l = α·R

εμβαδόν κυκλικού δίσκου

Ε = πR²

εμβαδόν κυκλικού τομέα μ°

πR²μ/360

εμβαδόν κυκλικού τμήματος

τομέας μείον το τρίγωνο ΟΑΒ

μηνίσκος

σχήμα ανάμεσα σε δύο τόξα με κοινή χορδή

τετραγωνισμός κύκλου

αδύνατος με κανόνα και διαβήτη