ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Για α > 0, μ ακέραιο και ν θετικό ακέραιο: α^(μ/ν) = ν-οστή ρίζα του α^μ· επίσης 0^(μ/ν) = 0 για μ, ν θετικούς.
2. Για άρρητο x η α^x είναι το όριο των δυνάμεων με εκθέτες τις δεκαδικές προσεγγίσεις του x· όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων ισχύουν για κάθε πραγματικό εκθέτη.
3. Εκθετική συνάρτηση με βάση α (0 < α ≠ 1): f(x) = α^x, με πεδίο ορισμού ℝ και σύνολο τιμών (0, +∞).
4. Για α > 1 είναι γνησίως αύξουσα, με ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα Ox΄· για 0 < α < 1 γνησίως φθίνουσα, με ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα Ox. Πάντα τέμνει τον y΄y στο (0, 1).
5. Οι y = α^x και y = (1/α)^x είναι συμμετρικές ως προς τον y΄y.
6. Η εκθετική συνάρτηση είναι 1-1: α^x₁ = α^x₂ ⇔ x₁ = x₂, ιδιότητα που λύνει εκθετικές εξισώσεις· σε ανισώσεις η φορά μένει για α > 1 και αλλάζει για 0 < α < 1.
7. Ο αριθμός e ≈ 2,718 είναι το όριο του (1 + 1/ν)^ν· η f(x) = e^x είναι η πιο συνηθισμένη εκθετική συνάρτηση.
8. Νόμος της εκθετικής μεταβολής: Q(t) = Q₀·e^(ct)· για c < 0 περιγράφει απόσβεση, όπως η ραδιενεργός διάσπαση, με ημιζωή τον χρόνο που μένει η μισή ποσότητα.

Όροι

α^(μ/ν), α > 0

ν-οστή ρίζα του α^μ

α^0, α ≠ 0

1

α^(−ν), α ≠ 0

1/α^ν

α^x₁ · α^x₂

α^(x₁ + x₂)

(α^x₁)^x₂

α^(x₁·x₂)

εκθετική συνάρτηση με βάση α

f(x) = α^x, με 0 < α ≠ 1

σύνολο τιμών της α^x

(0, +∞)

σημείο τομής της y = α^x με τον y΄y

(0, 1)

η α^x για α > 1

γνησίως αύξουσα στο ℝ

η α^x για 0 < α < 1

γνησίως φθίνουσα στο ℝ

y = 2^x και y = (1/2)^x

συμμετρικές ως προς τον y΄y

α^x₁ = α^x₂

x₁ = x₂ (η α^x είναι 1-1)

αριθμός e

όριο του (1 + 1/ν)^ν, περίπου 2,718

νόμος εκθετικής μεταβολής

Q(t) = Q₀·e^(ct)

Q₀ στον νόμο εκθετικής μεταβολής

η αρχική τιμή, για t = 0

ημιζωή

χρόνος για να μείνει η μισή ποσότητα

ημιζωή του άνθρακα C¹⁴

5730 έτη

τύπος ανατοκισμού

α_ν = α₀·(1 + τ)^ν