Λογάριθμοι

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Για α > 0, α ≠ 1 και θ > 0 η εξίσωση α^x = θ έχει μοναδική λύση, γιατί η α^x είναι γνησίως μονότονη με τιμές όλους τους θετικούς· τη λέμε log_α θ.
2. Άμεσες συνέπειες: log_α α^x = x, α^(log_α θ) = θ, log_α 1 = 0, log_α α = 1.
3. Ιδιότητες: log_α(θ₁θ₂) = log_α θ₁ + log_α θ₂, log_α(θ₁/θ₂) = log_α θ₁ − log_α θ₂, log_α θ^k = k·log_α θ.
4. Για ρίζες: ο λογάριθμος της ν-οστής ρίζας του θ είναι (1/ν)·log_α θ.
5. Δεκαδικός λογάριθμος: βάση 10, γράφεται log θ· χρησίμευε παλιά σε πολύπλοκους υπολογισμούς και σήμερα βγαίνει με υπολογιστή τσέπης.
6. Φυσικός λογάριθμος: βάση e, γράφεται ln θ.
7. Αλλαγή βάσης: log_β θ = log_α θ / log_α β, άρα κάθε λογάριθμος βγαίνει από log ή ln.
8. Εφαρμογές: κλίμακα Richter R = log(I/I₀), pH = −log[H⁺] και ημιζωή από τον νόμο της εκθετικής απόσβεσης.

Πρόσωπα

Richter

η κλίμακα για το μέγεθος των σεισμών

Όροι

log_α θ

ο εκθέτης x με α^x = θ

συνθήκες ορισμού του log_α θ

α > 0, α ≠ 1, θ > 0

log_α 1

0

log_α α

1

log_α α^x

x

α^(log_α θ)

θ

log_α(θ₁θ₂)

log_α θ₁ + log_α θ₂

log_α(θ₁/θ₂)

log_α θ₁ − log_α θ₂

log_α θ^k

k·log_α θ

δεκαδικός λογάριθμος

log θ, με βάση 10

φυσικός λογάριθμος

ln θ, με βάση e

αλλαγή βάσης

log_β θ = log_α θ / log_α β

log₂8

3

log 0,001

−3

κλίμακα Richter

R = log(I/I₀)

pH διαλύματος

−log[H⁺]