Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Λογαριθμική συνάρτηση με βάση α (0 < α ≠ 1): f(x) = log_α x, με πεδίο ορισμού (0, +∞) και σύνολο τιμών το ℝ.
Η καμπύλη της log_α x είναι η συμμετρική της καμπύλης της α^x ως προς την ευθεία y = x.
Για α > 1 είναι γνησίως αύξουσα, αρνητική στο (0, 1) και θετική για x > 1· η καμπύλη περνά από το (1, 0) και πλησιάζει τον ημιάξονα Oy΄ ως ασύμπτωτο.
Για 0 < α < 1 είναι γνησίως φθίνουσα, θετική στο (0, 1) και αρνητική για x > 1· ασύμπτωτος ο ημιάξονας Oy.
Είναι 1-1: log_α x₁ = log_α x₂ ⇔ x₁ = x₂, που λύνει λογαριθμικές εξισώσεις με τον άγνωστο μέσα στον λογάριθμο.
Επειδή log 0,5 < 0, όταν πολλαπλασιάζουμε μια ανισότητα με αυτόν η φορά της αλλάζει.
Ιστορικά οι λογάριθμοι επινοήθηκαν τον 17ο αιώνα για να απλοποιούν υπολογισμούς: γινόμενο όρων γεωμετρικής προόδου αντιστοιχεί σε άθροισμα όρων αριθμητικής.
Ο όρος «λογάριθμος» φτιάχτηκε από τις λέξεις «λόγος» και «αριθμός»· σήμερα η λογαριθμική συνάρτηση περιγράφει σχέσεις όπως του νόμου Weber-Fechner, A = k·log E.
Πρόσωπα
John Napier
δημοσίευσε πίνακες λογαρίθμων το 1614 και έπλασε τον όρο «λογάριθμος»
Jobst Bürgi
δημοσίευσε πίνακες προόδων το 1620 στην Πράγα
Leonhard Euler
χρησιμοποίησε πρώτος το σύμβολο e, το 1728
Nicolaus Mercator
χρησιμοποίησε πρώτος τον όρο «φυσικοί λογάριθμοι», το 1668
Ε.Η. Weber και G.T. Fechner
με πειράματα έδωσαν τον λογαριθμικό νόμο ερεθίσματος και αίσθησης
Όροι
λογαριθμική συνάρτηση με βάση α
f(x) = log_α x, με 0 < α ≠ 1
πεδίο ορισμού της log_α x
(0, +∞)
σύνολο τιμών της log_α x
ℝ
άξονας συμμετρίας log_α x και α^x
η ευθεία y = x
η log_α x για α > 1
γνησίως αύξουσα
η log_α x για 0 < α < 1
γνησίως φθίνουσα
σημείο τομής της y = log_α x με x΄x
(1, 0)
log_α x για α > 1 και 0 < x < 1
αρνητικός
log_α x₁ = log_α x₂
x₁ = x₂
λογαριθμική εξίσωση
εξίσωση με τον άγνωστο σε λογάριθμο
περιορισμός σε λογαριθμική εξίσωση
οι παραστάσεις στους log θετικές
γραφική της ln(x − 2)
η ln x μετατοπισμένη 2 δεξιά
προέλευση της λέξης «λογάριθμος»
«λόγος» και «αριθμός»
ln, από τα αρχικά των λέξεων
logarithmus naturalis
νόμος Weber-Fechner
A = k·log E
Χρονολογίες
1614
Ο Napier δημοσιεύει τους πίνακες λογαρίθμων του
1620
Οι πίνακες προόδων του Bürgi δημοσιεύονται στην Πράγα
1668
Ο Mercator χρησιμοποιεί τον όρο «φυσικοί λογάριθμοι»
Κάθε άσκηση διορθώνεται μόλις απαντήσεις και δείχνει πώς βγαίνει η σωστή απάντηση. Οι ασκήσεις φτιάχνονται για αυτή την ενότητα κάθε φορά από την αρχή. Δεν είναι οι λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.
Συχνές απορίες
Ποιο είναι το πεδίο ορισμού;
Οι θετικοί αριθμοί, x > 0.
Από πού περνά η καμπύλη;
Από το (1, 0), γιατί ο λογάριθμος του 1 είναι πάντα 0.
Τι σχέση έχει με την εκθετική;
Είναι η αντίστροφή της, και τα γραφήματα είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y = x.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.