Πολυωνυμικές εξισώσεις

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν: α_ν·x^ν + … + α₁x + α₀ = 0 με α_ν ≠ 0· οι ρίζες της είναι οι ρίζες του πολυωνύμου.
2. Για ν ≥ 3 δεν χρησιμοποιούμε γενικό τύπο αλλά παραγοντοποίηση: P₁(x)·P₂(x)·…·P_k(x) = 0 ⇔ P₁(x) = 0 ή … ή P_k(x) = 0.
3. Θεώρημα ακέραιων ριζών: με ακέραιους συντελεστές, κάθε ακέραια ρίζα ρ ≠ 0 διαιρεί τον σταθερό όρο α₀.
4. Δοκιμάζουμε τους διαιρέτες του α₀ με το σχήμα Horner· όταν βρούμε ρίζα ρ, το πηλίκο δίνει την παραγοντοποίηση P(x) = (x − ρ)·π(x).
5. Μια ρίζα μπορεί να εμφανίζεται δύο φορές (διπλή ρίζα), όταν ο παράγοντας x − ρ υπάρχει στο τετράγωνο.
6. Πρόσημο γινομένου πρωτοβάθμιων παραγόντων και τριωνύμων: βρίσκουμε το πρόσημο του καθενός και συνδυάζουμε σε πίνακα.
7. Οι ανισώσεις A(x)·B(x)·…·Φ(x) > 0 ή < 0 λύνονται από τον πίνακα προσήμου του γινομένου.
8. Αν f(α) και f(β) είναι ετερόσημες, η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β)· έτσι προσεγγίζουμε ρίζες βήμα βήμα.

Όροι

πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν

α_ν·x^ν + … + α₀ = 0, α_ν ≠ 0

ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης

ρίζα του πολυωνύμου P(x)

γινόμενο παραγόντων ίσο με 0

κάποιος παράγοντας είναι 0

θεώρημα ακέραιων ριζών

ακέραια ρίζα ρ ≠ 0 διαιρεί το α₀

πιθανές ακέραιες ρίζες

οι διαιρέτες του σταθερού όρου

διαιρέτης του α₀ που δεν μηδενίζει

δεν είναι ρίζα· το αντίστροφο δεν ισχύει

ρ ρίζα του P(x)

P(x) = (x − ρ)·π(x)

διπλή ρίζα ρ

ο παράγοντας (x − ρ)² στο P(x)

τριώνυμο με Δ < 0, α > 0

θετικό για κάθε x

πρόσημο γινομένου

από πίνακα προσήμων των παραγόντων

ανίσωση A(x)·B(x) > 0

λύνεται με πίνακα προσήμου

f(α), f(β) ετερόσημες

υπάρχει ρίζα της f(x) = 0 στο (α, β)

προσέγγιση ρίζας

συνεχής υποδιαίρεση του διαστήματος

ρίζες της x³ − 3x + 2 = 0

1 και −2