Διαίρεση πολυωνύμων

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Ευκλείδεια διαίρεση φυσικών: Δ = δ·π + υ με 0 ≤ υ < δ· οι Δ, δ, π, υ είναι διαιρετέος, διαιρέτης, πηλίκο, υπόλοιπο.
2. Ταυτότητα της διαίρεσης πολυωνύμων: Δ(x) = δ(x)·π(x) + υ(x), με υ(x) μηδενικό ή βαθμού μικρότερου από του δ(x).
3. Η διαίρεση γίνεται σε σχήμα όπως στους αριθμούς: διαιρούμε πρώτο όρο με πρώτο όρο, πολλαπλασιάζουμε, αφαιρούμε, και σταματάμε όταν το υπόλοιπο μηδενιστεί ή πέσει σε βαθμό.
4. Αν υ(x) = 0 η διαίρεση λέγεται τέλεια· τότε Δ(x) = δ(x)·π(x) και το δ(x) είναι παράγοντάς του.
5. Διαιρώντας το P(x) με x − ρ παίρνουμε υπόλοιπο υ = P(ρ).
6. Το x − ρ είναι παράγοντας του P(x) αν και μόνο αν P(ρ) = 0.
7. Σχήμα Horner: γρήγορη διαίρεση με x − ρ μόνο με τους συντελεστές, συμπληρώνοντας με 0 όσες δυνάμεις λείπουν.
8. Από τη διαίρεση του x^ν − α^ν με x − α βγαίνει η ταυτότητα x^ν − α^ν = (x − α)(x^(ν−1) + x^(ν−2)·α + … + α^(ν−1)).

Πρόσωπα

Ευκλείδης

η Ευκλείδεια διαίρεση φυσικών αριθμών

Horner

το σχήμα για τη διαίρεση με x − ρ

Όροι

διαιρετέος

το πολυώνυμο Δ(x) που διαιρούμε

διαιρέτης

το πολυώνυμο δ(x) με το οποίο διαιρούμε

ταυτότητα της διαίρεσης

Δ(x) = δ(x)·π(x) + υ(x)

βαθμός του υπολοίπου

μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη

τέλεια διαίρεση

διαίρεση με υπόλοιπο υ(x) = 0

παράγοντας του Δ(x)

δ(x) που το διαιρεί τέλεια

υπόλοιπο διαίρεσης του P(x) με x − ρ

P(ρ)

υπόλοιπο διαίρεσης του P(x) με x + ρ

P(−ρ)

το x − ρ είναι παράγοντας του P(x)

αν και μόνο αν P(ρ) = 0

σχήμα Horner

πίνακας για διαίρεση με x − ρ

Horner: τελευταίο στοιχείο 3ης γραμμής

το υπόλοιπο P(ρ)

Horner: δυνάμεις που λείπουν

συμπληρώνονται με συντελεστή 0

x^ν − α^ν

διαιρείται τέλεια με x − α

x^ν + α^ν, ν περιττός

διαιρείται τέλεια με x + α