Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Από την ισότητα δύο χορδών του τριγωνομετρικού κύκλου και τον τύπο απόστασης σημείων προκύπτει συν(α − β) = συνα·συνβ + ημα·ημβ, για οποιεσδήποτε γωνίες.
2. Με β → −β: συν(α + β) = συνα·συνβ − ημα·ημβ.
3. Με συν(π/2 − x) = ημx: ημ(α + β) = ημα·συνβ + συνα·ημβ και ημ(α − β) = ημα·συνβ − συνα·ημβ.
4. Διαιρώντας με συνα·συνβ: εφ(α + β) = (εφα + εφβ)/(1 − εφα·εφβ) και εφ(α − β) = (εφα − εφβ)/(1 + εφα·εφβ).
5. Ανάλογα: σφ(α + β) = (σφα·σφβ − 1)/(σφβ + σφα) και σφ(α − β) = (σφα·σφβ + 1)/(σφβ − σφα).
6. Με τους τύπους υπολογίζουμε ακριβώς αριθμούς γωνιών όπως 15° = 45° − 30° και 75° = 45° + 30°, αποδεικνύουμε ταυτότητες και λύνουμε εξισώσεις.

Όροι

συν(α − β)

συνα·συνβ + ημα·ημβ

συν(α + β)

συνα·συνβ − ημα·ημβ

ημ(α + β)

ημα·συνβ + συνα·ημβ

ημ(α − β)

ημα·συνβ − συνα·ημβ

εφ(α + β)

(εφα + εφβ)/(1 − εφα·εφβ)

εφ(α − β)

(εφα − εφβ)/(1 + εφα·εφβ)

σφ(α + β)

(σφα·σφβ − 1)/(σφβ + σφα)

σφ(α − β)

(σφα·σφβ + 1)/(σφβ − σφα)

απόσταση σημείων Ρ₁, Ρ₂

√((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

συν15°

√2(√3 + 1)/4

ημ15°

√2(√3 − 1)/4

εφ15°

2 − √3

εφ75°

2 + √3

15° ως διαφορά γνωστών γωνιών

45° − 30°

συνθήκη για τον τύπο της εφ(α + β)

συνα, συνβ, συν(α + β) ≠ 0