Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η ημx = α ζητά τις τετμημένες των σημείων όπου η ημιτονοειδής καμπύλη συναντά την ευθεία y = α· λύσεις υπάρχουν μόνο αν −1 ≤ α ≤ 1.
2. Βρίσκουμε τις λύσεις σε ένα διάστημα πλάτους 2π με τον τριγωνομετρικό κύκλο και μετά προσθέτουμε πολλαπλάσια της περιόδου.
3. ημx = ημθ ⇔ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ, κ ∈ ℤ.
4. συνx = συνθ ⇔ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ − θ, κ ∈ ℤ.
5. εφx = εφθ ⇔ x = κπ + θ, κ ∈ ℤ· έτσι λύνεται και η σφx = σφθ.
6. Για αρνητική τιμή χρησιμοποιούμε αντίθετη ή παραπληρωματική γωνία, π.χ. ημx = −√3/2 γράφεται ημx = ημ(−π/3).
7. Αν η μεταβλητή είναι μέσα σε παράσταση, π.χ. ημ(2x + π/4), εφαρμόζουμε τους τύπους στην παράσταση και μετά λύνουμε ως προς x.

Όροι

λύσεις της ημx = ημθ

x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ

λύσεις της συνx = συνθ

x = 2κπ + θ ή x = 2κπ − θ

λύσεις της εφx = εφθ

x = κπ + θ

λύσεις της σφx = σφθ

x = κπ + θ

ο κ στους τύπους λύσεων

ακέραιος, κ ∈ ℤ

η ημx = α έχει λύση όταν

−1 ≤ α ≤ 1

ημx = ½ στο [0, 2π]

x = π/6 ή x = 5π/6

συνx = ½ στο [−π, π]

x = π/3 ή x = −π/3

εφx = √3

x = κπ + π/3

εφx = −1

x = κπ − π/4

ημx = −√3/2 γράφεται

ημx = ημ(−π/3)

γωνίες με ίδιο ημίτονο

θ και π − θ

γωνίες με ίδιο συνημίτονο

θ και −θ