Το κεφάλαιο μελετά τα τρίγωνα: είδη και δευτερεύοντα στοιχεία, τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ορθογωνίων τριγώνων, ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών, σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου ή δύο κύκλων, και βασικές γεωμετρικές κατασκευές.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΩΜΕΤΡΙΑΕΝΟΤΗΤΑ 315 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Ως προς τις πλευρές ένα τρίγωνο είναι σκαληνό, ισοσκελές ή ισόπλευρο, και ως προς τις γωνίες οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. Δευτερεύοντα στοιχεία του: διάμεσος, διχοτόμος και ύψος από κάθε κορυφή.
Κριτήρια ισότητας τριγώνων: ΠΓΠ, ΓΠΓ και ΠΠΠ. Όταν δύο τρίγωνα είναι ίσα, οι γωνίες που βλέπουν ίσες πλευρές είναι κι αυτές ίσες, και αντίστροφα.
Στο ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες της βάσης είναι ίσες, και η διχοτόμος της κορυφής είναι και διάμεσος και ύψος. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του, και αντίστροφα.
Από σημείο εκτός ευθείας περνά μία μόνο κάθετη σε αυτήν. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες τις δύο κάθετες πλευρές, ή την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία, ή την υποτείνουσα και μία κάθετη.
Η κάθετη από το κέντρο σε μια χορδή τη διχοτομεί μαζί με το τόξο της· ίσες χορδές έχουν ίσα αποστήματα και ίσα τόξα. Τα σημεία της διχοτόμου απέχουν εξίσου από τις δύο πλευρές της γωνίας. Κύκλος, μεσοκάθετος και διχοτόμος είναι γεωμετρικοί τόποι.
Μια εξωτερική γωνία τριγώνου ξεπερνά κάθε μία από τις δύο μη προσκείμενες εσωτερικές, άρα ένα τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή ή αμβλεία γωνία. Απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία. Ισχύει η τριγωνική ανισότητα, και από σημείο εκτός ευθείας το κάθετο τμήμα είναι το συντομότερο.
Ευθεία και κύκλος συναντιούνται σε δύο σημεία το πολύ: αν δ > R δεν έχουν κανένα, αν δ = R η ευθεία εφάπτεται και είναι κάθετη στην ακτίνα του σημείου επαφής, αν δ < R τέμνονται. Δύο κύκλοι συγκρίνονται μέσω της διακέντρου δ με τα R + ρ και R − ρ· σε τεμνόμενους κύκλους η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής.
Με κανόνα και διαβήτη κατασκευάζουμε γωνία ίση με δοσμένη, μεσοκάθετο, κάθετη από σημείο και διχοτόμο, και τρίγωνα από τα στοιχεία των τριών κριτηρίων. Ένα πρόβλημα κατασκευής έχει κατασκευή, απόδειξη και διερεύνηση.
Πρόσωπα
Ευκλείδης
στα «Στοιχεία» του εμφανίζονται τα πρώτα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών
Πάππος
θεωρούσε σοβαρό λάθος να λύνεται με κωνικές τομές ένα πρόβλημα που λύνεται με κανόνα και διαβήτη
ΠΓΠ: δύο πλευρές και η γωνία που σχηματίζουν ίσες μία προς μία. ΓΠΓ: μία πλευρά και οι δύο γωνίες πάνω της ίσες. ΠΠΠ: και οι τρεις πλευρές ίσες μία προς μία. Όταν ισχύει ένα από αυτά, τα τρίγωνα είναι ίσα.
Τι λέει η τριγωνική ανισότητα;
Σε κάθε τρίγωνο κάθε πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους, δηλαδή |β − γ| < α < β + γ. Εκφράζει ότι ο ευθύγραμμος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία είναι ο συντομότερος.
Πότε μια ευθεία εφάπτεται σε κύκλο;
Όταν η απόσταση δ του κέντρου από την ευθεία είναι ίση με την ακτίνα. Αν δ > R η ευθεία δεν συναντά τον κύκλο, και αν δ < R τον τέμνει σε δύο σημεία. Τα δύο εφαπτόμενα τμήματα από ένα εξωτερικό σημείο είναι ίσα.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.