Το κεφάλαιο μελετά τις γωνίες που σχηματίζουν δύο ευθείες με μια τέμνουσα, το αίτημα παραλληλίας του Ευκλείδη και τις συνέπειές του: γωνίες με παράλληλες ή κάθετες πλευρές, τους κύκλους του τριγώνου και το άθροισμα γωνιών τριγώνου και πολυγώνου.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΩΜΕΤΡΙΑΕΝΟΤΗΤΑ 415 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Δύο διαφορετικές ευθείες του επιπέδου ή τέμνονται σε ένα σημείο ή δεν έχουν κοινό σημείο· τότε λέγονται παράλληλες.
Μια τέμνουσα δύο ευθειών σχηματίζει οκτώ γωνίες: εντός και εκτός, εναλλάξ ή επί τα αυτά μέρη. Αν οι εντός εναλλάξ είναι ίσες, οι ευθείες είναι παράλληλες· το ίδιο αν οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες ή οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές.
Το αίτημα παραλληλίας δέχεται ότι για κάθε ευθεία και κάθε σημείο έξω από αυτήν υπάρχει ακριβώς μία παράλληλη. Έτσι, παράλληλες που τέμνονται από τρίτη ευθεία σχηματίζουν ίσες τις εντός εναλλάξ γωνίες, και δύο ευθείες παράλληλες σε τρίτη είναι παράλληλες μεταξύ τους.
Αν οι εντός και επί τα αυτά μέρη έχουν άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές, οι ευθείες τέμνονται προς εκείνη την πλευρά. Μια ευθεία κάθετη στη μία από δύο παράλληλες είναι κάθετη και στην άλλη.
Γωνίες με πλευρές παράλληλες ή κάθετες είναι ίσες όταν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες, και παραπληρωματικές όταν η μια γωνία είναι οξεία ενώ η δεύτερη αμβλεία.
Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου συντρέχουν στο περίκεντρο, κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Οι διχοτόμοι του συντρέχουν στο έγκεντρο, κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου· υπάρχουν και τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι με κέντρα τα παράκεντρα.
Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180°. Άρα κάθε εξωτερική γωνία ισούται με όσο κάνουν μαζί οι δύο μη προσκείμενες εσωτερικές, και οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
Οι γωνίες ενός κυρτού ν-γώνου έχουν άθροισμα 2ν − 4 ορθές και οι εξωτερικές του 4 ορθές. Το ιστορικό σημείωμα περιγράφει πώς επί αιώνες μαθηματικοί προσπάθησαν ανεπιτυχώς να αποδείξουν το πέμπτο αίτημα.
Πρόσωπα
Ευκλείδης
διατύπωσε στα «Στοιχεία» το πέμπτο αίτημα, των παραλλήλων
Θαμπίτ ιμπν Κούρρα
ξεκίνησε τις αραβικές προσπάθειες απόδειξης του αιτήματος με γεωμετρική και κινηματική προσέγγιση
Ιμπν αλ-Χαιθάμ
ανέπτυξε την κινηματική προσέγγιση στη θεωρία των παραλλήλων
Ομάρ Χαγιάμ
μελέτησε τετράπλευρο με δύο ορθές για να προσεγγίσει το αίτημα
Νασίρ αντ-Ντιν αλ-Τουσί
του αποδίδεται απόδειξη του πέμπτου αιτήματος που μελέτησαν αργότερα στην Ευρώπη
Τζ. Ουώλλις
δημοσίευσε το 1693 πραγματεία για το πέμπτο αίτημα
Τζιρόλαμο Σακκέρι
εξέτασε τις υποθέσεις για τις γωνίες ενός τετραπλεύρου για να αποδείξει το αίτημα
Λάμπερτ
Γερμανός μαθηματικός που έκανε σημαντική προσπάθεια απόδειξης του αιτήματος
Ότι από ένα σημείο έξω από μια ευθεία περνά μία μόνο ευθεία παράλληλη προς αυτήν. Δεν αποδεικνύεται αλλά γίνεται δεκτό, και είναι ισοδύναμο με το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη.
Πώς δείχνουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες;
Αρκεί μια τέμνουσα να σχηματίζει μαζί τους ίσες εντός εναλλάξ γωνίες, ή ίσες εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη, ή εντός και επί τα αυτά μέρη με άθροισμα 180°. Παράλληλες είναι επίσης δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία ή παράλληλες προς την ίδια ευθεία.
Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου;
Είναι 2ν − 4 ορθές, δηλαδή (ν − 2) · 180°. Για το τρίγωνο δίνει 180° και για το τετράπλευρο 360°. Οι εξωτερικές γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου έχουν πάντα άθροισμα 4 ορθές, 360°.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.