Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Ταυτότητα λέγεται η ισότητα με μεταβλητές που αληθεύει για όλες τις τιμές τους.
2. Το τετράγωνο αθροίσματος και διαφοράς αποδεικνύεται αν γράψουμε το τετράγωνο ως γινόμενο και κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.
3. Ο κύβος αθροίσματος βγαίνει από το (α + β)·(α + β)² και με τον ίδιο τρόπο ο κύβος διαφοράς.
4. Το γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά δίνει διαφορά τετραγώνων.
5. Οι ταυτότητες ισχύουν και όταν στη θέση των α, β βάλουμε αλγεβρικές παραστάσεις, π.χ. (3x − 4y)².
6. Υπάρχουν και οι ταυτότητες διαφοράς και αθροίσματος κύβων.
7. Στο τρίγωνο του Πασκάλ βρίσκουμε τους συντελεστές των αναπτυγμάτων του (α + β)ⁿ.
8. Με ταυτότητες κατασκευάζονται Πυθαγόρειες τριάδες, όπως οι αριθμοί του Διόφαντου λ² + μ², λ² − μ², 2λμ.

Πρόσωπα

Blaise Pascal

Γάλλος μαθηματικός (1623 έως 1662), από αυτόν πήρε όνομα το τρίγωνο του Πασκάλ

Πυθαγόρας

(6ος αιώνας π.Χ.) ήξερε έναν τρόπο να φτιάχνει Πυθαγόρειες τριάδες

Πλάτωνας

(5ος έως 4ος αιώνας π.Χ.) ήξερε άλλον τύπο για Πυθαγόρειες τριάδες

Διόφαντος

(3ος αιώνας μ.Χ.) έδωσε γενικό τρόπο για Πυθαγόρειες τριάδες

Ευκλείδης

γνώριζε την ταυτότητα στην οποία στηρίχτηκε ο Διόφαντος

Όροι

ταυτότητα

ισότητα που ισχύει για κάθε τιμή

(α + β)²

α² + 2αβ + β²

(α − β)²

α² − 2αβ + β²

(α + β)³

α³ + 3α²β + 3αβ² + β³

(α − β)³

α³ − 3α²β + 3αβ² − β³

(α + β)(α − β)

α² − β²

(α − β)(α² + αβ + β²)

α³ − β³

(α + β)(α² − αβ + β²)

α³ + β³

ανάπτυγμα

το δεύτερο μέλος μιας ταυτότητας

(y + 4)²

y² + 8y + 16

(x + 2)(x − 2)

x² − 4

τρίγωνο του Πασκάλ

συντελεστές των αναπτυγμάτων του (α + β)ⁿ

Πυθαγόρεια τριάδα

ακέραιοι α, β, γ με α² = β² + γ²

απλούστερη Πυθαγόρεια τριάδα

5, 4, 3