Β4.5

Ο κώνος και τα στοιχεία του

Ο κώνος παράγεται όταν ένα ορθογώνιο τρίγωνο περιστραφεί γύρω από μία κάθετη πλευρά του· μαθαίνουμε ακτίνα, ύψος και γενέτειρα, το εμβαδόν της επιφάνειάς του και τον όγκο του.

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Β415 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Κώνος: το στερεό που παράγεται από την περιστροφή ορθογωνίου τριγώνου ΚΟΑ γύρω από την κάθετη πλευρά ΚΟ.
Η βάση είναι κυκλικός δίσκος με ακτίνα ΟΑ = ρ, την ακτίνα του κώνου.
Η ΚΟ είναι το ύψος του κώνου και η υποτείνουσα ΚΑ η γενέτειρα, με μήκος λ.
Η περιστροφή της γενέτειρας δίνει την παράπλευρη επιφάνεια.
Ξετυλιγμένη, η παράπλευρη επιφάνεια είναι κυκλικός τομέας με ακτίνα λ και μήκος τόξου 2πρ.
Ολικό εμβαδόν: παράπλευρη επιφάνεια συν τη βάση πρ².
Τρεις κώνοι γεμίζουν έναν κύλινδρο με ίδια βάση και ύψος: V = ⅓ · πρ² · υ.

Όροι

κώνος: περιστροφή ορθογωνίου τριγώνου
άξονας περιστροφής: η κάθετη πλευρά ΚΟ, το ύψος
ακτίνα κώνου ρ: η ακτίνα της κυκλικής βάσης
γενέτειρα λ: η υποτείνουσα ΚΑ
λ, ρ, υ: λ² = ρ² + υ²
ανάπτυγμα παράπλευρης: κυκλικός τομέας ακτίνας λ
τόξο του αναπτύγματος: 2πρ, ο κύκλος της βάσης
Ε_π κώνου: πρλ
Ε_ολ κώνου: πρλ + πρ²
όγκος κώνου: V = ⅓ · πρ² · υ
κώνος και κύλινδρος: ίδια βάση, ύψος: V κώνου = V κυλ. : 3
ρ = 3, υ = 4: γενέτειρα λ = 5

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Ποια είναι τα στοιχεία ενός κώνου;

Η βάση του, ένας κυκλικός δίσκος με ακτίνα ρ, το ύψος του (η κάθετη πλευρά γύρω από την οποία περιστράφηκε το τρίγωνο) και η γενέτειρα λ, η υποτείνουσα του τριγώνου. Ισχύει λ² = ρ² + υ².

Πώς βρίσκω την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου;

Ξετυλιγμένη είναι κυκλικός τομέας με ακτίνα τη γενέτειρα λ και τόξο ίσο με το μήκος του κύκλου της βάσης, 2πρ. Το εμβαδόν της είναι Ε_π = πρλ, και προσθέτοντας τη βάση πρ² παίρνουμε το ολικό.

Γιατί ο όγκος του κώνου είναι το ένα τρίτο του κυλίνδρου;

Αν γεμίσουμε τρεις φορές με αλεύρι έναν κώνο και το ρίξουμε σε κύλινδρο με ίδια βάση και ύψος, ο κύλινδρος γεμίζει. Άρα V = ⅓ · πρ² · υ.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα