Η σφαίρα και τα στοιχεία της

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Σφαίρα: περιστρέφουμε έναν κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από κάποια διάμετρό του· από τον κύκλο προκύπτει η επιφάνειά της.
2. Κάθε σημείο της επιφάνειας απέχει από το κέντρο Ο απόσταση ίση με την ακτίνα ρ.
3. Ένα επίπεδο και μια σφαίρα είτε δεν τέμνονται, είτε εφάπτονται σε ένα σημείο, είτε τέμνονται σε κύκλο.
4. Ο κύκλος τομής μεγαλώνει όσο το επίπεδο πλησιάζει το κέντρο· αν περνά από το κέντρο, είναι μέγιστος κύκλος.
5. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι η επιφάνεια σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο ισούται με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου.
6. Άρα Ε = 4πρ², όσο τέσσερις μέγιστοι κύκλοι.
7. Τρεις σφαίρες γεμίζουν δύο κυλίνδρους ακτίνας ρ και ύψους 2ρ, οπότε V = 4πρ³ : 3.

Πρόσωπα

Αρχιμήδης

υπολόγισε πρώτος το εμβαδόν της επιφάνειας σφαίρας, συγκρίνοντάς τη με κύλινδρο

Όροι

σφαίρα

περιστροφή δίσκου γύρω από διάμετρο

κέντρο σφαίρας

το κέντρο Ο του δίσκου

ακτίνα σφαίρας

απόσταση κάθε σημείου της από το Ο

επίπεδο εφαπτόμενο σε σφαίρα

έχει ένα μόνο κοινό σημείο

επίπεδο που τέμνει σφαίρα

η τομή είναι κύκλος

μέγιστος κύκλος

τομή με επίπεδο από το κέντρο

εμβαδόν σφαίρας

Ε = 4πρ²

4 μέγιστοι κύκλοι

ίσοι με την επιφάνεια της σφαίρας

όγκος σφαίρας

V = 4πρ³ : 3

3 σφαίρες ακτίνας ρ

γεμίζουν 2 κυλίνδρους ρ, 2ρ

σφαίρα ρ = 3 cm

Ε = 36π cm², V = 36π cm³