Β1.9

Θέσεις ευθειών στο επίπεδο

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου ή τέμνονται ή είναι παράλληλες. Μαθαίνουμε το σύμβολο //, πώς χαράζουμε παράλληλη και το αίτημα του Ευκλείδη για τη μοναδική παράλληλη.

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Β115 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Παράλληλες: δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου χωρίς κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν· γράφουμε ε₁ // ε₂.
Τεμνόμενες: δύο ευθείες με ένα κοινό σημείο, το σημείο τομής.
Δύο ευθείες ενός επιπέδου ή είναι παράλληλες ή τέμνονται.
Τμήματα πάνω σε παράλληλες ευθείες λέγονται παράλληλα: ΑΒ // ΓΔ.
Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.
Από σημείο εκτός ευθείας περνά μία μόνο παράλληλη προς αυτήν (το 5ο αίτημα).
Παράλληλη χαράζουμε με κανόνα και γνώμονα, ή με δύο διαδοχικές κάθετες.
Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν πολλές παράλληλες, στην ελλειπτική καμία.

Πρόσωπα

Ευκλείδης: έγραψε τα «Στοιχεία» (13 βιβλία) και διατύπωσε το 5ο αίτημα
Πλάτωνας: έγραψε στην είσοδο της Ακαδημίας «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω»
David Hilbert: Γερμανός μαθηματικός, βοήθησε το 1899 στη σημερινή μορφή του αιτήματος
Νικολάι Λομπατσέφσκι: Ρώσος μαθηματικός (1792-1856), πρότεινε την υπερβολική γεωμετρία
Bernhard Riemann: (1826-1866) θεμελίωσε την ελλειπτική γεωμετρία
Albert Einstein: στηρίχτηκε στη γεωμετρία του Ρίμαν για τη θεωρία της Σχετικότητας
Escher: Ολλανδός ζωγράφος· ένας πίνακάς του δείχνει υπερβολικό χώρο
Jean Dieudonné: Γάλλος μαθηματικός που επαίνεσε τη γεωμετρία των αρχαίων Ελλήνων

Όροι

παράλληλες ευθείες: ίδιο επίπεδο, κανένα κοινό σημείο
ε₁ // ε₂: η ε₁ είναι παράλληλη στην ε₂
τεμνόμενες ευθείες: έχουν ένα κοινό σημείο
σημείο τομής: το κοινό σημείο δύο τεμνόμενων
δύο ευθείες ενός επιπέδου: ή παράλληλες ή τεμνόμενες
παράλληλα τμήματα: βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες
δύο κάθετες στην ίδια ευθεία: είναι μεταξύ τους παράλληλες
5ο αίτημα (σημερινή μορφή): από σημείο εκτός ευθείας, μία παράλληλη
«Στοιχεία»: το έργο Γεωμετρίας του Ευκλείδη, 13 βιβλία
υπερβολική γεωμετρία: πολλές παράλληλες από σημείο
ελλειπτική γεωμετρία: καμία παράλληλη από σημείο
«Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω»: το ρητό στην Ακαδημία του Πλάτωνα

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες;

Όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν συναντιούνται πουθενά, όσο κι αν τις προεκτείνουμε. Γράφουμε ε₁ // ε₂. Αν έχουν ένα κοινό σημείο, λέγονται τεμνόμενες και αυτό είναι το σημείο τομής.

Πώς φέρνω παράλληλη σε μια ευθεία από ένα σημείο εκτός της;

Με τον γνώμονα φέρνω από το σημείο Α κάθετη ΑΒ στην ευθεία ε και μετά από το Α κάθετη στην ΑΒ. Αυτή είναι παράλληλη στην ε, γιατί δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες.

Τι λέει το 5ο αίτημα του Ευκλείδη;

Στη σημερινή του μορφή: από ένα σημείο εκτός ευθείας περνά μία μόνο παράλληλη προς αυτήν. Επί αιώνες προσπάθησαν να το αποδείξουν χωρίς επιτυχία, και έτσι γεννήθηκαν άλλες γεωμετρίες, όπως η υπερβολική του Λομπατσέφσκι και η ελλειπτική του Ρίμαν.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα