Ένα σωματίδιο κλεισμένο σε πηγάδι δυναμικού, όπως ένα ηλεκτρόνιο σε άτομο, έχει κβαντισμένη ορμή και ενέργεια: σε πηγάδι άπειρου βάθους E = n²·h²/(8·m·L²). Σε πηγάδι πεπερασμένου βάθους μπορεί να βρεθεί ακόμη και έξω από αυτό.
Γ΄ Λυκείου · Φυσική · 30 λεπτά
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Σωματίδιο παγιδευμένο σε πηγάδι δυναμικού κρατιέται από εξωτερικές δυνάμεις σε μια περιοχή του χώρου· για το ηλεκτρόνιο, τέτοιες παγίδες είναι τα άτομα.
Πηγάδι άπειρου βάθους: U = 0 για 0 ≤ x ≤ L και άπειρη έξω. Η εξίσωση Schrödinger δίνει Ψ = 0 έξω και Ψ = A·ημ(nπx/L) μέσα, με n = 1, 2, 3, …
Τα επιτρεπτά μήκη κύματος είναι λ = 2L/n, άρα από p = h/λ η ορμή είναι κβαντισμένη: p = n·h/(2L).
Η ενέργεια είναι μόνο κινητική, E = p²/(2m), άρα E = n²·h²/(8·m·L²): κβαντισμένη, με στάθμες που απέχουν όλο και περισσότερο όσο μεγαλώνει το n.
Το |Ψ|² δίνει την πιθανότητα θέσης ανά μονάδα μήκους. Στη θεμελιώδη κατάσταση (n = 1) το ηλεκτρόνιο βρίσκεται πιθανότερα στο μέσο της παγίδας· μόνο σε ψηλές στάθμες η πιθανότητα μοιράζεται ομοιόμορφα, όπως στην κλασική εικόνα.
Πηγάδι πεπερασμένου βάθους U₀: μέσα η λύση είναι ημιτονοειδής, έξω εκθετικά φθίνουσα· οι καταστάσεις παραμένουν κβαντισμένες.
Συμπεράσματα: ενέργεια και ορμή κβαντισμένες· η ελάχιστη κινητική ενέργεια (n = 1) δεν είναι μηδέν· η πιθανότητα θέσης δεν είναι ομοιόμορφη· σε πεπερασμένο πηγάδι το ηλεκτρόνιο μπορεί να βρεθεί και έξω.
Πρόσωπα
Max Born
κατά την ερμηνεία του το |Ψ|² δίνει την πιθανότητα θέσης
Μια περιοχή όπου ένα σωματίδιο μένει παγιδευμένο από εξωτερικές δυνάμεις· για ένα ηλεκτρόνιο, τέτοιες παγίδες είναι τα άτομα. Μέσα στο πηγάδι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν, έξω μεγαλύτερη.
Ποιες τιμές ενέργειας έχει ένα ηλεκτρόνιο σε πηγάδι άπειρου βάθους;
Μόνο τις E = n²·h²/(8·m·L²), με n = 1, 2, 3, … Η ορμή του είναι p = n·h/(2L), ακέραιο πολλαπλάσιο του h/2L. Η χαμηλότερη ενέργεια, για n = 1, δεν είναι μηδέν· το ηλεκτρόνιο δεν ηρεμεί ποτέ.
Μπορεί το ηλεκτρόνιο να βρεθεί έξω από το πηγάδι;
Αν το πηγάδι έχει πεπερασμένο βάθος, ναι: το |Ψ|² δε μηδενίζεται αμέσως έξω από τα όρια, οπότε υπάρχει μικρή πιθανότητα να βρεθεί εκεί, ακόμη κι αν κλασικά δεν έχει αρκετή ενέργεια. Η πιθανότητα μεγαλώνει σε ψηλότερες στάθμες.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.