Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Η εισαγωγή του κεφαλαίου δείχνει πώς ο κανόνας του παραλληλογράμμου, γνωστός ήδη στην αρχαιότητα, εξελίχθηκε μέσα από τη Φυσική στον σημερινό διανυσματικό λογισμό.
Μονόμετρα (βαθμωτά) μεγέθη ορίζονται με μέτρο και μονάδα· διανυσματικά μεγέθη χρειάζονται και διεύθυνση και φορά.
Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ΑΒ⃗ είναι ευθύγραμμο τμήμα με διατεταγμένα άκρα: αρχή Α και πέρας Β. Αν αρχή και πέρας συμπίπτουν, το διάνυσμα είναι μηδενικό.
Μέτρο |ΑΒ⃗| είναι το μήκος του τμήματος ΑΒ· μοναδιαίο λέγεται το διάνυσμα με μέτρο 1. Φορέας είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται.
Δύο μη μηδενικά διανύσματα με ίδιο ή παράλληλο φορέα είναι συγγραμμικά· χωρίζονται σε ομόρροπα (ίδια φορά) και αντίρροπα (αντίθετη φορά).
Ίσα διανύσματα έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα· αντίθετα έχουν ίσα μέτρα και αντίθετη κατεύθυνση, άρα ΒΑ⃗ = −ΑΒ⃗. Το Μ είναι μέσο του ΑΒ ακριβώς όταν ΑΜ⃗ = ΜΒ⃗.
Η γωνία δύο διανυσμάτων είναι η κυρτή γωνία που σχηματίζουν όταν τα σχεδιάσουμε από κοινή αρχή· δεν εξαρτάται από την αρχή και ισχύει 0 ≤ θ ≤ π.
Αν θ = π/2 τα διανύσματα είναι κάθετα. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται ομόρροπο, αντίρροπο και κάθετο σε κάθε διάνυσμα.
Πρόσωπα
Ήρων ο Αλεξανδρεύς
στα «Μηχανικά» αποδεικνύει μια μορφή του κανόνα του παραλληλογράμμου
C. Wessel
όρισε πράξεις με προσανατολισμένα τμήματα (1799)
R. Argand
παρόμοιο πρωτοποριακό έργο (1806)
W. Hamilton
χρησιμοποίησε τον όρο διάνυσμα (vector)
H. Grassmann
εισήγαγε τους όρους εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο
J. W. Gibbs και O. Heaviside
δημιούργησαν τη σύγχρονη θεωρία του διανυσματικού λογισμού
Κάθε άσκηση διορθώνεται μόλις απαντήσεις και δείχνει πώς βγαίνει η σωστή απάντηση. Οι ασκήσεις φτιάχνονται για αυτή την ενότητα κάθε φορά από την αρχή. Δεν είναι οι λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.
Συχνές απορίες
Τι ορίζει ένα διάνυσμα;
Το μέτρο, η διεύθυνση και η φορά του.
Πότε δύο διανύσματα είναι ίσα;
Όταν έχουν ίδιο μέτρο, ίδια διεύθυνση και ίδια φορά, ανεξάρτητα από το πού βρίσκονται.
Πώς βρίσκω το μέτρο;
Με Πυθαγόρειο από τις συντεταγμένες: |u| = √(x² + y²).
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.